Teorema de Clairaut-Schwarz
Na análise matemática, o teorema de Clairaut-Schwarz é uma condição suficiente para a igualdade das derivadas parciais cruzadas de uma função de várias variáveis. O teorema estabelece que, se as derivadas parciais cruzadas existem e são contínuas, então são iguais. O nome do teorema é uma referência aos não-contemporâneos Alexis Claude de Clairaut e Hermann Amandus Schwarz.
Enunciado
Enunciado geral
Seja um conjunto aberto e um campo escalar de classe . Então, para qualquer ponto :
Caso particular a duas variáveis
Seja um conjunto aberto e um campo escalar de classe . Então, para qualquer ponto :
Exemplos de aplicações
Aplicando o teorema no operador del de alta ordem se obtêm que:
Segundo Stewart, 2007, o teorema de Clairaut-Schwarz é válido se ambas derivadas parciais mistas forem contínuas em seus domínios.[1]
Seu análogo em integrais duplas/iteradas é o Teorema de Fubini.
O teorema também é fundamental para a física, como exemplo nas relações de Maxwell.
Referências
- ↑ Stewart, James, Cálculo Vol. 2,5ª ed, 2007, pp.914 .
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