Teorema de Liouville–Arnold

Na teoria dos sistemas dinâmicos, o teorema de Liouville–Arnold estabelece que se, em um sistema Hamiltoniano dinâmico com n graus de liberdade, também há conhecidas n integrais de movimento primeiras que são independentes e em involução, então existe uma transformação canônica a coordenadas de ângulos de ação na qual a transformação Hamiltoniana é dependente somente das coordenadas de ação e os ângulos de coordenadas evoluem linearmente no tempo.^[1]

Seja ${\displaystyle (M^{2n},\omega )}$ uma variedade simplética com colchete de Poisson associado ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$. Sejam ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\,\colon \,M\to \mathbb {R} }$ funções suaves e defina ${\displaystyle \mathbf {f} \,\colon M\to \mathbb {R} ^{n}}$ por ${\displaystyle \mathbf {f} (x)=(f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x))}$. Fixe ${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$ na imagem de ${\displaystyle \mathbf {f} }$ e ponha ${\displaystyle M_{\mathbf {a} }=\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {a} )=\{x\in M\mid \mathbf {f} (x)=\mathbf {a} \}}$. Suponha que

(i) as funções estão em involução: ${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}=0}$ para todo ${\displaystyle i,j}$; e

(ii) ${\displaystyle \mathrm {d} f_{1},\mathrm {d} f_{2},\ldots ,\mathrm {d} f_{n}}$ são linearmente independentes em todo ponto de ${\displaystyle M_{\mathbf {a} }}$ ou, equivalentemente, ${\displaystyle \mathbf {f} _{\ast }}$ tem posto maximal em todo ponto de ${\displaystyle M_{\mathbf {a} }}$.

O subespaço topológico ${\displaystyle M_{\mathbf {a} }}$ é uma subvariedade lagrangiana de ${\displaystyle M}$. Se ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ é uma componente conexa e compacta de ${\displaystyle M_{\mathbf {a} }}$, então ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ é difeomorfa a um ${\displaystyle n}$-toro, ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }\cong \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}}$, o produto ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ de ${\displaystyle n}$ círculos ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$. Se as ${\displaystyle f_{i}}$s estiverem em involução com um hamiltoniano ${\displaystyle H}$, então o fluxo do campo ${\displaystyle \mathbf {X} _{H}}$ associado a ${\displaystyle H}$ leva ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ em si mesmo. Tal toro é chamado portanto de toro invariante.

A segunda, e mais substancial, parte merece ser enunciada como outro.

Além disso, existem um aberto ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle M}$ contendo ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ e um difeomorfismo ${\displaystyle (J_{1},\ldots ,J_{n},\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})\,\colon \,U\to D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}}$, onde ${\displaystyle D^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\Vert x\Vert <1\}}$ é o disco ${\displaystyle n}$-dimensional, tais que

(i) se ${\displaystyle \pi _{D}\,\colon \,D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\to D^{n}}$ é a projeção canônica, as fibras de ${\displaystyle \pi _{D}\circ (J,\varphi )}$ são toros invariantes. As coordenadas de ação ${\displaystyle J_{1},\ldots ,J_{n}}$ são constantes em cada toro invariante do aberto ${\displaystyle U}$.

(ii) ${\displaystyle (J,\varphi )^{\ast }\eta =\omega \vert _{U}}$, onde ${\displaystyle \textstyle {\eta =\sum \mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} \theta ^{i}}}$. Em outras palavras, o difeomorfismo ${\displaystyle (J,\varphi )}$ é um simplectomorfismo (ou transformação canônica) de ${\displaystyle (U,\omega \vert _{U})}$ em ${\displaystyle (D^{n}\times \mathbb {T} ^{n},\eta )}$.

Uma carta semilocal do tipo de ${\displaystyle (U,J,\varphi )}$ é chamada de sistema semilocal de coordenadas de ângulo-ação.

Temos que ${\displaystyle \lambda =\textstyle \sum J_{i}\,\mathrm {d} \varphi ^{i}\in \Omega ^{1}(U)}$ é uma 1-forma de Liouville para ${\displaystyle \omega \vert _{U}}$, isto é, ${\displaystyle \mathrm {d} \lambda =\omega \vert _{U}}$. Segue daí e da isotropia de ${\displaystyle C_{\mathbf {b} }\subset U}$ que ${\displaystyle J_{i}(x)={\frac {1}{2\pi }}\oint _{\Gamma _{i}(x)}\lambda }$, onde ${\displaystyle \Gamma _{i}(x)}$ é a imagem de um dos geradores do primeiro grupo de homologia de ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$. Note que ${\displaystyle \mathrm {d} f_{i}(\mathbf {X} _{H})=\{H,f_{i}\}=0}$, logo ${\displaystyle \mathbf {X} _{H}}$ é tangente a cada um dos toros invariantes. Portanto, ${\displaystyle \mathrm {d} H{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial \varphi ^{i}}}{\Bigr )}=0}$, ou seja, ${\displaystyle H\vert _{U}}$ depende apenas das coordenadas de ação. Se ${\displaystyle \gamma }$ é uma curva integral de ${\displaystyle \mathbf {X} _{H}}$ começando em ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ (portanto permanecendo aí), vemos que ${\displaystyle \varphi ^{i}\circ \gamma }$ evolui linearmente ${\displaystyle (\mathrm {mod} \,\,2\pi )}$ no tempo. Isso porque ${\displaystyle \mathrm {d} {\bigl (}\mathrm {d} H{\bigl (}{\tfrac {\partial }{\partial J_{i}}}{\bigr )}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {\partial }{\partial \varphi ^{j}}}{\bigr )}={\tfrac {\partial }{\partial \varphi ^{j}}}{\bigl (}{\tfrac {\partial }{\partial J_{i}}}(H){\bigr )}=[{\tfrac {\partial }{\partial \varphi ^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial J_{i}}}](H)+{\tfrac {\partial }{\partial J_{i}}}{\bigl (}\mathrm {d} H{\bigl (}{\tfrac {\partial }{\partial \varphi ^{j}}}{\bigr )}{\bigr )}}$ e ${\displaystyle [{\tfrac {\partial }{\partial \varphi ^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial J_{i}}}]=0}$, logo ${\displaystyle \partial H\vert _{U}/\partial J_{i}}$ depende apenas das coordenadas de ação. Evoluir linearmente ${\displaystyle \mathrm {mod} \,2\pi }$ aqui significa que, levantando ${\displaystyle \varphi ^{k}\circ \gamma }$ ao recobrimento universal ${\displaystyle \mathbb {R} }$ segundo a aplicação ${\displaystyle 2\pi }$-periódica ${\displaystyle p\,\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$, ${\displaystyle p(s)=e^{is}=\cos s+{\sqrt {-1}}\sin s}$, obtemos uma função suave ${\displaystyle s_{k}\,\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$. Essa função satisfaz ${\displaystyle {s_{k}}^{\!\prime }=\partial (H\vert _{U})/\partial J_{k}}$, logo ${\displaystyle s_{k}}$ é afim, daí o “linearmente”. O movimento evolui como o de um sistema multiperiódico, com frequências ${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {a} )={\tfrac {1}{2\pi }}\partial H/\partial J_{k}}$.

Provaremos nesta seção que todo subgrupo discreto do grupo aditivo do ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espaço vetorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é o span integral de um certo subconjunto linearmente independente.

Lema. Seja ${\displaystyle \Gamma \neq \{\mathbf {0} \}}$ um subgrupo discreto de ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+)}$. Então existem ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}$ elementos linearmente independentes tais que ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} \mathbf {v} _{1}+\cdots +\mathbb {Z} \mathbf {v} _{k}}$.

Antes, um

Fato. Um subgrupo discreto de um grupo topológico Hausdorff é necessariamente fechado.

Prova. Seja ${\displaystyle H}$ um subgrupo discreto do grupo topológico Hausdorff ${\displaystyle G}$. Suponha que existe ${\displaystyle x\in G,x\notin H}$ com a propriedade de que toda vizinhança de ${\displaystyle x}$ intersecta ${\displaystyle H}$. Nenhuma dessas interseções pode ter apenas um elemento, já que ${\displaystyle G}$ é Hausdorff e ${\displaystyle x\notin H}$. Sendo ${\displaystyle H}$ discreto, existe uma vizinhança ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle e}$, o elemento idêntico, tal que ${\displaystyle U\cap H=\{e\}}$ . Por continuidade da função ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy^{-1}}$, alguma vizinhança ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle e}$ satisfaz ${\displaystyle VV^{-1}\subset U}$. Uma vez que translações são homeomorfismos, ${\displaystyle xV}$ é vizinhança de ${\displaystyle x}$, portanto há distintos ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in xV\cap H}$. Mas ${\displaystyle y_{1}{y_{2}}^{\!-1}\neq e}$ está em ${\displaystyle VV^{-1}\cap H\subset U\cap H}$, absurdo.

Prova do Lema. Pelo resultado anterior, ${\displaystyle \Gamma }$ é fechado. Sejam ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{r}}$ elementos linearmente independentes de ${\displaystyle \Gamma }$ gerando um subgrupo ${\displaystyle H}$ e um subespaço ${\displaystyle W}$. Suponha que ${\displaystyle \Gamma \cap W=H}$. Se ${\displaystyle H\neq \Gamma }$, podemos definir a função ${\displaystyle x\mapsto \operatorname {dist} (x,W)}$ no fechado não-vazio ${\displaystyle \Gamma \smallsetminus W}$. Observe que ${\displaystyle \operatorname {dist} (x+w,W)=\operatorname {dist} (x,W)}$ para todo ${\displaystyle w\in W}$, pois a adição de ${\displaystyle W}$ lhe dá estrutura de grupo; e ${\displaystyle \operatorname {dist} (cx,W)=c\operatorname {dist} (x,W)}$, ${\displaystyle c>0}$, pois ${\displaystyle W}$ é subespaço. Seja ${\displaystyle \alpha =\inf\{\,\operatorname {dist} (x,W)\mid x\in \Gamma \smallsetminus W\,\}}$. Escolha uma sequência ${\displaystyle (x_{n})}$ de pontos em ${\displaystyle \Gamma \smallsetminus W}$ com ${\displaystyle \operatorname {dist} (x_{n},W)<\alpha +{\tfrac {1}{n}}}$. Então para alguma sequência ${\displaystyle (p_{n})}$ de pontos em ${\displaystyle W}$ temos ${\displaystyle \vert x_{n}-p_{n}\vert <1+\alpha +{\tfrac {1}{n}}}$. Considerando as partes inteiras das coordenadas de ${\displaystyle p_{n}}$ na base ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{r}}$, obtemos uma sequência ${\displaystyle (z_{n})}$ de pontos em ${\displaystyle H}$ com ${\displaystyle (y_{n})=(x_{n}-z_{n})}$ uma sequência limitada de pontos em ${\displaystyle \Gamma \smallsetminus W}$. Já que ${\displaystyle \Gamma }$ é um espaço discreto e fechado, alguma subsequência de ${\displaystyle (y_{n})}$ é constante, logo podemos supor que a sequência possui valor constante ${\displaystyle y}$. Como ${\displaystyle \operatorname {dist} (x_{n}-z_{n},W)=\operatorname {dist} (x_{n},W)}$, obtemos que ${\displaystyle \operatorname {dist} (y,W)=\alpha }$. Conclusão: há um ponto em ${\displaystyle \Gamma }$ fora de ${\displaystyle W}$ que minimiza a distância ao subespaço ${\displaystyle W}$.

Agora procederemos indutivamente: partindo de um ponto ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\in \Gamma \smallsetminus \{\mathbf {0} \}}$ mais próximo da origem, consideramos o subespaço ${\displaystyle V_{1}}$ gerado por ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ e o subgrupo ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ gerado por esse elemento. Afirmo que ${\displaystyle \Gamma \cap V_{1}=\Gamma _{1}}$. Suponha que não. Então há ${\displaystyle \mathbf {w} \in (\Gamma \cap V_{1})\smallsetminus \Gamma _{1}}$. Podemos então escrever ${\displaystyle \mathbf {w} =c\mathbf {v} _{1}}$, com ${\displaystyle c\notin \mathbb {Z} }$. Logo ${\displaystyle 0<c-\lfloor c\rfloor <1}$, donde ${\displaystyle \mathbf {w} -\lfloor c\rfloor \mathbf {v} _{1}\in \Gamma \smallsetminus \{\mathbf {0} \}}$; mas ${\displaystyle \vert \mathbf {w} -\lfloor c\rfloor \mathbf {v} _{1}\vert <\vert \mathbf {v} _{1}\vert }$, absurdo, pois ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} }$ minimiza a distância à origem. Se ${\displaystyle \Gamma _{1}=\Gamma }$, estamos terminados. Caso contrário, existe um ponto em ${\displaystyle \Gamma }$ fora de ${\displaystyle V_{1}}$ que minimiza a distância ao subespaço ${\displaystyle V_{1}}$; escolha algum, digamos, ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$; então ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\}}$ é linearmente independente, gerando o subgrupo ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ e o subespaço ${\displaystyle V_{2}}$. Novamente vejamos por que ${\displaystyle \Gamma \cap V_{2}=\Gamma _{2}}$: caso não, existe ${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {w} _{0}+c\mathbf {v} _{2}}$, ${\displaystyle \mathbf {w} \in \Gamma \smallsetminus \Gamma _{2}}$, ${\displaystyle \mathbf {w} _{0}\in V_{1}}$, ${\displaystyle c\notin \mathbb {Z} }$; temos ${\displaystyle \mathbf {w} -\lfloor c\rfloor \mathbf {v} _{2}\in \Gamma \smallsetminus V_{1}}$, mas ${\displaystyle \operatorname {dist} ((c-\lfloor c\rfloor )\mathbf {v} _{2}+\mathbf {w} _{0},V_{1})=(c-\lfloor c\rfloor )\operatorname {dist} (\mathbf {v} _{2},V_{1})}$, resultando em contradição. Iterando esse processo, obtemos vetores em ${\displaystyle \Gamma }$ linearmente independentes ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{k-1}}$ gerando um subgrupo ${\displaystyle \Gamma _{k-1}}$ e um subespaço ${\displaystyle V_{k-1}}$ tais que ${\displaystyle \Gamma \cap V_{k-1}=\Gamma _{k-1}}$. Se ${\displaystyle \Gamma _{k-1}\neq \Gamma }$, o procedimento anterior nos dá ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}\in \Gamma \smallsetminus V_{k-1}}$, com os ${\displaystyle \Gamma _{k},V_{k}}$ correspondentes satisfazendo ${\displaystyle \Gamma \cap V_{k}=\Gamma _{k}}$. O número de iterações é obviamente limitado por ${\displaystyle n=\dim \mathbb {R} ^{n}}$.

Seja ${\displaystyle X_{i}}$ o campo hamiltoniano em ${\displaystyle M^{2n}}$ associado à função hamiltoniana ${\displaystyle f_{i}}$: ${\displaystyle X_{i}\mathbin {\lrcorner } \omega =-\mathrm {d} f_{i}}$ Temos que ${\displaystyle \mathrm {d} f_{j}(X_{i})=\{f_{j},f_{i}\}=0}$, logo os campos ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ são tangentes à subvariedade compacta e conexa ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$, logo podem ser restritos a campos em ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$. Uma vez que ${\displaystyle \mathbf {f} _{\ast }}$ tem posto maximal em todo ponto de ${\displaystyle M_{\mathbf {a} }}$, os campos ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ são linearmente independentes em todo ponto de ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$, logo trivializam o fibrado tangente ${\displaystyle TC_{\mathbf {a} }}$. Sendo ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ compacta, esses campos são completos, isto é, o fluxo ${\displaystyle \rho _{i}^{s}}$ está definido para todo ponto de ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ e para todo ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$. Pelas fórmulas de Cartan, os campos comutam: ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=\mathbf {X} _{\{f_{i},f_{j}\}}=0}$. É bem sabido que isso implica a comutatividade dos fluxos: ${\displaystyle {\rho _{i}}^{\!s}\circ {\rho _{j}}^{\!t}={\rho _{j}}^{\!t}\circ {\rho _{i}}^{\!s}}$. Para ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$, defina a função suave ${\displaystyle \rho ^{\mathbf {t} }\,\colon \,C_{\mathbf {a} }\to C_{\mathbf {a} }}$ por ${\displaystyle \rho ^{\mathbf {t} }={\rho _{1}}^{\!\!t_{1}}\circ {\rho _{2}}^{\!\!t_{2}}\circ \cdots \circ {\rho _{n}}^{\!\!t_{n}}}$. Segue que ${\displaystyle \rho ^{\mathbf {t} +\mathbf {s} }=\rho ^{\mathbf {t} }\circ \rho ^{\mathbf {s} }}$. Agora para cada ${\displaystyle p\in C_{\mathbf {a} }}$, defina a função suave ${\displaystyle \rho _{p}\,\colon \,\mathbb {R} ^{n}\to C_{\mathbf {a} }}$ por ${\displaystyle \rho _{p}(\mathbf {t} )=\rho ^{\mathbf {t} }(p)}$. O fato de que ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ são linearmente independentes em todo ponto de ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ permite concluir, pelo Teorema da Função Inversa, que ${\displaystyle \rho _{p}}$ é um difeomorfismo local em torno de cada ${\displaystyle \mathbf {t} \in \mathbb {R} ^{n}}$. Essa afirmação é clara para ${\displaystyle \mathbf {t} =\mathbf {0} }$; use ${\displaystyle \rho ^{\mathbf {t} +\mathbf {s} }=\rho ^{\mathbf {t} }\circ \rho ^{\mathbf {s} }}$. Isso implica que a imagem de ${\displaystyle \rho _{p}}$ é aberta em ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$. Analogamente, também é fechada. Por conexidade, ${\displaystyle \rho _{p}}$ é uma submersão sobrejetiva. Agora seja ${\displaystyle G=\{\mathbf {t} \in \mathbb {R} ^{n}\mid \rho _{p}(\mathbf {t} )=p\}}$. Trata-se de um subgrupo do grupo aditivo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Uma vez que ${\displaystyle \rho _{p}}$ é difeomorfismo local, ${\displaystyle G}$ é subgrupo discreto. (Como esperávamos, ${\displaystyle G}$ é fechado.) Pelo resultado da seção anterior, existem ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{k}}$ linearmente independentes de forma que ${\displaystyle G=\mathbb {Z} \mathbf {e} _{1}+\mathbb {Z} \mathbf {e} _{2}+\ldots +\mathbb {Z} \mathbf {e} _{k}}$. Portanto, ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ é isomorfa como grupo de Lie difeomorfa como variedade a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{k}\cong \mathbb {T} ^{k}\times \mathbb {R} ^{n-k}}$. Como ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ é compacta, devemos ter ${\displaystyle k=n}$, donde ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }\cong \mathbb {T} ^{n}}$, com aplicação de recobrimento universal ${\displaystyle \rho _{p}\,\colon \,\mathbb {R} ^{n}\to C_{\mathbf {a} }}$. O subgrupo discreto ${\displaystyle G}$ independe do ${\displaystyle p\in C_{\mathbf {a} }}$ escolhido. É o subgrupo de isotropia de ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$, denotado comumente por ${\displaystyle \Lambda _{\mathbf {a} }}$. Também é conhecido por reticulado de períodos de ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$.

Até então, estávamos interessados em um toro invariante particular. Passaremos agora a considerar vários toros invariantes simultaneamente, isto é, investigaremos uma vizinhança de ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$. Precisamente, provaremos o seguinte

Lema (Vizinhança trivializável). Seja ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ um toro invariante em ${\displaystyle M}$. Existem uma vizinhança ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ e um difeomorfismo ${\displaystyle \Phi \,\colon \,U\to D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\,}$ tais que

(i) ${\displaystyle \mathbf {f} }$ aplica ${\displaystyle U}$ sobre ${\displaystyle D^{n}}$ e ${\displaystyle \operatorname {pr} _{D}\circ \,\Phi =\mathbf {f} \vert _{U}}$;

(ii) as fibras da projeção canônica ${\displaystyle \operatorname {pr} _{D}\,\colon \,D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\to D^{n}}$ voltam para ${\displaystyle U}$ via ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ como toros invariantes, com ${\displaystyle {\operatorname {pr} _{D}}^{\!\!-1}(\mathbf {a} )=\Phi (C_{\mathbf {a} })}$.

Essencialmente, ${\displaystyle \mathbf {f} \vert _{U}\,\colon \,U\to D^{n}}$ é um fibrado trivial. Esse Lema pode ser visto como consequência do Lema da Fibração de Ehresmann^{[nota 1]}, mas vamos prová-lo de forma a evidenciar aspectos dinâmicos.

Prova do Lema. Para cada ${\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$ e para cada componente conexa ${\displaystyle N_{\mathbf {b} }}$ de um ${\displaystyle M_{\mathbf {b} }}$, temos que ${\displaystyle N_{\mathbf {b} }}$ e ${\displaystyle M_{\mathbf {b} }\smallsetminus N_{\mathbf {b} }}$ são fechados disjuntos em ${\displaystyle M}$, logo existem abertos disjuntos ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ com ${\displaystyle N_{\mathbf {b} }\subset V_{1}}$, ${\displaystyle M_{\mathbf {b} }\smallsetminus N_{\mathbf {b} }\subset V_{2}}$. Considere o toro invariante ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ em questão. Existe uma vizinhança ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ em que ${\displaystyle \mathbf {f} _{\ast }}$ tem sempre posto maximal ${\displaystyle n}$. Podemos supor que ${\displaystyle V}$ tem fecho compacto. Seja ${\displaystyle W}$ a reunião de todas as componentes conexas contidas em ${\displaystyle V}$ de alguns ${\displaystyle M_{\mathbf {b} }}$s. Todas essas componentes conexas são compactas, uma vez que são subconjuntos fechados de um compacto, a saber, ${\displaystyle {\overline {V}}}$. Logo são toros invariantes ${\displaystyle C_{\mathbf {b} }}$. Afirmo que ${\displaystyle W}$ é aberto em ${\displaystyle M}$. Se ${\displaystyle x\in C_{\mathbf {b} }\subset V}$ não é ponto interior de ${\displaystyle W}$, toda vizinhança de ${\displaystyle x}$ contém algum ponto de algum ${\displaystyle N_{\mathbf {c} }}$ que por sua vez possui algum ponto fora de ${\displaystyle V}$, portanto fora de algum aberto ${\displaystyle V^{\prime }}$ que separe ${\displaystyle C_{\mathbf {b} }}$ de ${\displaystyle M_{\mathbf {b} }\smallsetminus C_{\mathbf {b} }}$. Tomando vizinhanças contidas em ${\displaystyle V^{\prime }}$ convergindo para o ponto ${\displaystyle x}$, da conexidade dos ${\displaystyle N_{\mathbf {c} }}$s obtemos pontos ${\displaystyle q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n},\ldots }$ em ${\displaystyle \operatorname {bd} V^{\prime }}$, a fronteira topológica de ${\displaystyle V^{\prime }}$, pertencendo a ${\displaystyle N_{\mathbf {c} _{1}},N_{\mathbf {c} _{2}},\ldots }$, e pontos ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$ também em ${\displaystyle N_{\mathbf {c} _{1}},N_{\mathbf {c} _{2}},\ldots }$, com a sequência ${\displaystyle (p_{n})}$ convergindo para ${\displaystyle x}$. Se ${\displaystyle q\in \operatorname {bd} V^{\prime }}$ é um limite subsequencial de ${\displaystyle (q_{n})}$, temos, por um lado, ${\displaystyle \mathbf {f} (p_{n})=\mathbf {c} _{n}}$, donde ${\displaystyle (\mathbf {c} _{n})}$ converge para ${\displaystyle \mathbf {f} (x)=\mathbf {b} }$; por outro lado, ${\displaystyle \mathbf {f} (q_{n})=\mathbf {c} _{n}}$, logo ${\displaystyle q\in M_{\mathbf {b} }}$. Isso é absurdo pois ${\displaystyle q\in \operatorname {bd} V^{\prime }}$, logo ${\displaystyle q\notin C_{\mathbf {b} }}$; mas ${\displaystyle \operatorname {bd} V^{\prime }}$ é disjunta de ${\displaystyle M_{\mathbf {b} }\smallsetminus C_{\mathbf {b} }}$. Conclusão: ${\displaystyle W}$ é uma vizinhança de ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$ fibrada por toros invariantes. Considere agora uma subvariedade de ${\displaystyle W}$ transversa a todos os toros invariantes que a intersectam (isso pode ser feito localmente); podemos restringi-la a uma subvariedade ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ tal que ${\displaystyle \mathbf {f} ({\mathcal {D}})=D^{n}}$. Por transversalidade, podemos ainda supor que ${\displaystyle \mathbf {f} \vert _{\mathcal {D}}\,\colon \,{\mathcal {D}}\to D^{n}}$ é um difeomorfismo. O aberto ${\displaystyle U=\mathbf {f} ^{-1}(D^{n})\cap W}$ é fibrado por toros invariantes. Conseguimos então uma seção ${\displaystyle \sigma =(\mathbf {f} \vert _{\mathcal {D}})^{-1}\,\colon \,D^{n}\to U}$ do fibrado ${\displaystyle \mathbf {f} \vert _{U}}$. Defina o seguinte subespaço topológico ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ de ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$: ${\displaystyle \textstyle {{\mathcal {P}}=\bigcup _{\mathbf {x} \in D^{n}}\{\sigma (\mathbf {x} )\}\times \Lambda _{\mathbf {x} }}}$. Trata-se do fibrado de reticulados de períodos. Denotaremos por ${\displaystyle \varpi \,\colon \,{\mathcal {P}}\to D^{n}}$ a projeção ${\displaystyle \varpi (\sigma (\mathbf {x} ),\mathbf {t} )=\mathbf {x} }$. Pelo Teorema da Função Implícita, podemos resolver localmente ${\displaystyle \rho ^{\mathbf {t} }(\sigma (\mathbf {x} ))=\sigma (\mathbf {x} )}$ para ${\displaystyle \mathbf {t} }$ como função de ${\displaystyle \mathbf {x} }$, obtendo uma seção local do fibrado ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Usando seções locais, podemos levantar continuamente caminhos na base ${\displaystyle D^{n}}$. Encontraremos uma função suave ${\displaystyle A\,\colon \,D^{n}\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$, possivelmente depois de reduzir o raio de ${\displaystyle D^{n}}$, de forma que ${\displaystyle A(\mathbf {x} )}$ é base para o reticulado ${\displaystyle \Lambda _{\mathbf {x} }}$. Escolha uma base ${\displaystyle (\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n})}$ para o subgrupo de isotropia de ${\displaystyle C_{\mathbf {a} }}$; recorde que ${\displaystyle \sigma (\mathbf {a} )\in C_{\mathbf {a} }}$. Considere seções locais de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ em torno de ${\displaystyle \mathbf {a} }$, levando ${\displaystyle \mathbf {a} }$ a ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$; isso nos dá uma função suave ${\displaystyle A\,\colon \,D^{n}\to \operatorname {Mat} _{n,n}(\mathbb {R} )}$. Por continuidade do determinante, podemos supor que ${\displaystyle A}$ aplica ${\displaystyle D^{n}}$ em ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$. Vejamos por que ${\displaystyle A(\mathbf {x} )}$ é base para ${\displaystyle \Lambda _{\mathbf {x} }}$ para todo ${\displaystyle \mathbf {x} \in D^{n}}$: dado ${\displaystyle \mathbf {t} \in \Lambda _{\mathbf {x} }}$, escolha um caminho ${\displaystyle \gamma \,\colon \,[0,1]\to D^{n}}$ partindo de ${\displaystyle \mathbf {0} }$ até ${\displaystyle \mathbf {x} }$ na base. Levante a um caminho ${\displaystyle {\widetilde {\gamma \,}}}$ em ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ terminando em ${\displaystyle \mathbf {t} }$ e começando em algum ponto de ${\displaystyle \Lambda _{\mathbf {a} }}$. Temos que ${\displaystyle {\widetilde {\gamma \,}}(s)}$ expressa-se como combinação linear a coeficientes racionais das colunas de ${\displaystyle A(\gamma (s))}$. Considerando os coeficientes, temos uma função contínua ${\displaystyle [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}$ com imagem em ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$. Essa função é constante, portanto. Como a imagem de ${\displaystyle 0}$ possui coordenadas inteiras, também possui a imagem de ${\displaystyle 1}$, isto é, ${\displaystyle \mathbf {t} }$ é combinação linear integral das colunas de ${\displaystyle A(\mathbf {x} )}$, como queríamos. Estamos prontos para definir a trivialização ${\displaystyle \Phi \,\colon \,D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\to U}$. Começaremos definindo o levantamento ao recobrimento universal, ${\displaystyle {\widetilde {\Phi }}\,\colon \,D^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to U}$ por ${\displaystyle {\widetilde {\Phi }}(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )=\rho ^{A(\mathbf {x} )\mathbf {t} }(\sigma (\mathbf {x} ))}$. É imediato que ${\displaystyle {\widetilde {\Phi }}}$ desce a um difeomorfismo ${\displaystyle D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\to U}$ com todas as propriedades mencionadas.

O difeomorfismo ${\displaystyle (\mathbf {f} ,{\bar {\varphi }})}$ obtido anteriormente pode não ser um simplectomorfismo, dada a arbitrariedade envolvida na escolha da seção ${\displaystyle \sigma }$. Começaremos identificando a vizinhança ${\displaystyle U}$ com o produto ${\displaystyle D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}}$ via o difeomorfismo ${\displaystyle (\mathbf {f} ,{\bar {\varphi }})}$ obtido na seção anterior. Então se ${\displaystyle \pi _{D}\,\colon \,D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\to D^{n}}$ é a projeção canônica, as fibras ${\displaystyle {\pi _{D}}^{\!\!-1}(x)}$ são toros invariantes.

Consideraremos o círculo ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ como um subgrupo de Lie do grupo ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }=\mathbb {C} -\{0\}\cong \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{+}}$. Recordemos que o campo ${\displaystyle \partial /\partial \theta }$ em ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ satisfaz ${\displaystyle {p_{\ast }}_{s}{\bigl (}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\bigr \vert }_{s}{\bigr )}={\tfrac {\partial }{\partial \theta }}{\bigr \vert }_{p(s)}}$, onde ${\displaystyle p\,\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$ é a aplicação de recobrimento universal ${\displaystyle p(s)=e^{is}}$. Além disso, para a translação (à esquerda ou à direita, pois o grupo é Abeliano) por ${\displaystyle z\in \mathbb {S} ^{1}}$, ${\displaystyle T_{z}\,\colon \,\mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}}$ definida por ${\displaystyle T_{z}(w)=zw}$, vale ${\displaystyle {(T_{z})}_{\ast }{\bigl (}{\tfrac {\partial }{\partial \theta }}{\bigr \vert }_{w}{\bigr )}={\tfrac {\partial }{\partial \theta }}{\bigr \vert }_{zw}}$. A ${\displaystyle 1}$-forma de ângulo ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ é o campo de covetores dual a ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial \theta }}}$. Para ${\displaystyle f\,\colon \,U\to \mathbb {S} ^{1}}$ suave, ${\displaystyle {f_{\ast }}_{x}(v)=\mathrm {d} f_{x}(v)\cdot {\tfrac {\partial }{\partial \theta }}{\bigr \vert }_{f(x)}}$, definindo então uma ${\displaystyle 1}$-forma (fechada) ${\displaystyle \mathrm {d} f\in \Omega ^{1}(U)}$; de fato ${\displaystyle \mathrm {d} f=f^{\ast }(\mathrm {d} \theta )}$. Para um grupo de Lie ${\displaystyle G}$ e para funções suaves ${\displaystyle f,h\,\colon \,U\to G}$, definimos ${\displaystyle f\cdot h\,\colon \,U\to G}$ pela fórmula ${\displaystyle (f\cdot h)(x)=f(x)\cdot h(x)}$. Não é difícil ver que ${\displaystyle {(f\cdot h)_{\ast }}_{x}={{(L_{f(x)})}_{\ast }}_{h(x)}\circ {h_{\ast }}_{x}+{(R_{h(x)})_{\ast }}_{f(x)}\circ {f_{\ast }}_{x}}$, onde ${\displaystyle L_{g},R_{g}\,\colon \,G\to G}$ são os difeomorfismos de translação por ${\displaystyle g\in G}$ à esquerda e à direita, respectivamente. Feitas essas observações, tornemos ao produto ${\displaystyle D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}}$.

Temos

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {\varphi }}^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}X_{k}}$, onde ${\displaystyle a_{ik}\,\colon D^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\to \mathbb {R} }$ são funções suaves constantes em cada toro invariante. Na expressão da ${\displaystyle 2}$-forma ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(D^{n}\times \mathbb {T} ^{n})}$ no sistema de coordenadas ${\displaystyle (\mathbf {f} ,{\bar {\varphi }})}$, não há termos envolvendo ${\displaystyle \mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}\wedge \mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{j}}$, uma vez que os toros invariantes são subvariedades isotrópicas para ${\displaystyle \omega }$, i.e., ${\displaystyle \omega =0}$ em um toro invariante. Para o coeficiente de ${\displaystyle \mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}\wedge \mathrm {d} f_{j}}$, temos, uma vez que ${\displaystyle X_{i}\mathbin {\lrcorner } \omega =-\mathrm {d} f_{i}}$,

${\displaystyle \omega {\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial {\bar {\varphi }}^{i}}},{\frac {\partial }{\partial f_{j}}}{\Bigr )}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}\omega {\Bigl (}X_{k},{\frac {\partial }{\partial f_{j}}}{\Bigr )}=-\sum _{k=1}^{n}a_{ik}\mathrm {d} f_{k}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial f_{j}}}{\Bigr )}=-a_{ij}}$, então

${\displaystyle \omega =\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}\,\mathrm {d} f_{i}\wedge \mathrm {d} f_{j}-\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}\,\mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}\wedge \mathrm {d} f_{j}}$, para certas funções ${\displaystyle b_{ij}}$. Já que ${\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}$, temos ${\displaystyle {\frac {\partial b_{ij}}{\partial {\bar {\varphi }}^{k}}}={\frac {\partial a_{ki}}{\partial f_{j}}}-{\frac {\partial a_{kj}}{\partial f_{i}}}}$. Logo ${\displaystyle \partial b_{ij}/\partial {\bar {\varphi }}^{k}}$ independe das coordenadas ${\displaystyle {\bar {\varphi }}}$, pois isso vale para o lado direito. Como são fechadas as curvas integrais dos campos ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial {\bar {\varphi }}^{k}}}}$, temos ${\displaystyle \partial b_{ij}/\partial {\bar {\varphi }}^{k}=0}$. Consequentemente, tanto as funções ${\displaystyle a_{ij}}$ quanto as funções ${\displaystyle b_{ij}}$ são constantes em cada toro invariante. Agora escrevemos

${\displaystyle \omega =B-\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}\wedge A_{i}}$, onde ${\displaystyle B=\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}\,\mathrm {d} f_{i}\wedge \mathrm {d} f_{j}}$ e ${\displaystyle A_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\,\mathrm {d} f_{j}}$. Como as ${\displaystyle a_{ij}}$ e as ${\displaystyle b_{ij}}$ são constantes em cada toro invariante, podemos considerar ${\displaystyle A_{i}}$ e ${\displaystyle B}$ como formas no disco ${\displaystyle D^{n}}$, isto é, existem ${\displaystyle 1}$-formas ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Omega ^{1}(D^{n})}$ e uma ${\displaystyle 2}$-forma ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{2}(D^{n})}$ tais que ${\displaystyle A_{i}={\pi _{D}}^{\!\ast }\alpha _{i}}$ e ${\displaystyle B={\pi _{D}}^{\!\ast }\beta }$. Novamente usando o fato de que ${\displaystyle \omega }$ é fechada, concluímos que ${\displaystyle \mathrm {d} A_{i}=0}$ e ${\displaystyle \mathrm {d} B=0}$. Como ${\displaystyle \pi _{D}}$ é submersão sobrejetiva, temos ${\displaystyle \mathrm {d} \alpha _{i}=0}$ e ${\displaystyle \mathrm {d} \beta =0}$. Sendo ${\displaystyle D^{n}}$ um espaço contrátil, existem uma função suave ${\displaystyle \mathbf {I} =(I_{1},I_{2},\ldots ,I_{n})\,\colon \,D^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ e uma ${\displaystyle 1}$-forma ${\displaystyle \xi \in \Omega ^{1}(D^{n})}$ tais que ${\displaystyle \mathrm {d} I_{i}=\alpha _{i}}$, ${\displaystyle \mathrm {d} \xi =\beta }$. Note que ${\displaystyle \mathbf {I} }$ é um difeomorfismo local em torno de ${\displaystyle \mathbf {0} }$, pois, tendo ${\displaystyle \mathbf {f} _{\ast }}$ posto maximal, segue que ${\displaystyle \mathrm {d} I_{1},\ldots ,\mathrm {d} I_{n}}$ são linearmente independentes no ponto ${\displaystyle \mathbf {0} }$. Aqui potencialmente reduziremos o raio de ${\displaystyle D^{n}}$ para que possamos supor ${\displaystyle \mathbf {I} }$ um difeomorfismo. Defina ${\displaystyle J_{i}=I_{i}\circ \pi _{D}={\pi _{D}}^{\!\ast }I_{i}}$ e note que ${\displaystyle \mathrm {d} J_{i}=A_{i}}$. Como ${\displaystyle \omega =B-\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} {\bar {\varphi }}^{i}\wedge \mathrm {d} J_{i}}$, a matriz de ${\displaystyle \omega }$ na carta ${\displaystyle (\mathbf {f} ,{\bar {\varphi }})}$ é