Triângulo de Fuhrmann

O triângulo de Fuhrmann, denominado em memória de Wilhelm Fuhrmann (1833–1904), é um triângulo especial baseado sobre um triângulo arbitrário.

Para um dado triângulo ${\displaystyle \triangle ABC}$ e seu circuncírculo (circunferência circunscrita) os pontos médios dos arcos sobre os lados do triângulo são denotados por ${\displaystyle M_{a},M_{b},M_{c}}$. Estes pontos médios são refletidos no lado associado do triângulo gerando os pontos ${\displaystyle M_{a}^{\prime },M_{b}^{\prime },M_{c}^{\prime }}$, que formam o triângulo de Fuhrmann.^[1][2]

O circuncírculo do triângulo de Fuhrmann é o círculo de Fuhrmann. Também, o triângulo de Furhmann é similar ao triângulo formado pelos pontos médios dos arcos, isto é ${\displaystyle \triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim \triangle M_{a}M_{b}M_{c}}$.^[1] Para a área dos triângulo de Fuhrmann é satisfeita a fórmula^[3]

${\displaystyle |\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }|={\frac {(a+b+c)|OI|^{2}}{4R}}={\frac {(a+b+c)(R-2r)}{4}},}$

onde ${\displaystyle O}$ denota o circuncentro do dado triângulo ${\displaystyle \triangle ABC}$ e ${\displaystyle R}$ seu raio, com ${\displaystyle I}$ denotando o incentro e ${\displaystyle r}$ seu radio. Pelo teorema geométrico de Euler resulta ${\displaystyle |OI|^{2}=R(R-2r)}$. As seguintes equações são verificadas para os lados do triângulo de Fuhrmann,^[3]

${\displaystyle a^{\prime }={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a+b+c)}{bc}}}|OI|}$

${\displaystyle b^{\prime }={\sqrt {\frac {(a-b+c)(a+b+c)}{ac}}}|OI|}$

${\displaystyle c^{\prime }={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a+b+c)}{ab}}}|OI|,}$

onde ${\displaystyle a,b,c}$ denotam os lados do dado triângulo ${\displaystyle \triangle ABC}$ e ${\displaystyle a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }}$ os lados do triângulo de Fuhrmann (ver figura).

Referências