Șaua maimuței

În matematică șaua maimuței este suprafața definită de ecuația

${\displaystyle z=x^{3}-3xy^{2},}$

sau, în coordonate cilindrice,

${\displaystyle z=\rho ^{3}\cos(3\varphi ).}$

Aparține clasei de suprafețe de tip șa, iar numele său derivă din observația că o șa pentru o maimuță ar necesita două îndoiri în jos (depresiuni) pentru picioare și una pentru coadă. Punctul ${\displaystyle (0,0,0)}$ de pe șaua maimuței corespunde unui punct critic degenerat^⁠(d) al funcției ${\displaystyle z(x,y)}$ la ${\displaystyle (0,0)}$. Șaua maimuței are un punct ombilical^⁠(d) izolat cu curbură gaussiană^⁠(d) zero în origine, în timp ce curbura este strict negativă în toate celelalte puncte.

Ecuațiile se pot exprima și prin numere complexe ${\displaystyle x+iy=re^{i\varphi }:}$

${\displaystyle z=x^{3}-3xy^{2}=\operatorname {Re} [(x+iy)^{3}]=\operatorname {Re} [r^{3}e^{3i\varphi }]=r^{3}\cos(3\varphi ).}$

Înlocuind 3 din ecuația în coordonate cilindrice cu orice număr întreg ${\displaystyle k\geq 1,}$ se poate crea o șa cu ${\displaystyle k}$ depresiuni.^[1]

O altă orientare a șeii maimuței este petala topită definită prin ${\displaystyle x+y+z+xyz=0,}$ astfel încât axa z a șeii maimuței să corespundă direcției (1,1,1) a petalei topite.^[2][3]

Termenul de șa ecvestră poate fi folosit în contrast cu șaua maimuței, pentru a desemna o suprafață obișnuită în formă de șa, în care ${\displaystyle z(x,y)}$ are un punct șa, un minim sau maxim local în fiecare direcție a planului xy. În schimb, șaua maimuței are un punct de inflexiune staționar în fiecare direcție.

Portal Matematică

• en Eric W. Weisstein, Monkey Saddle la MathWorld.