Cosinus director

În geometria analitică cosinusurile directoare[1][2][3] ale unui vector sunt cosinusurile unghiurilor dintre acel vector și axele de coordonate. Echivalent, ele sunt componentele bazei unui versor orientat în acea direcție. Cosinusurile directoare sunt o extensie analoagă noțiunii obișnuite de pantă la dimensiuni mai mari.

În spațiul tridimensional versorul are trei componente.

Coordonate carteziene tridimensionale

Vector v în R3, componentele vectorului, vx, vy și vz, și unghiurile directoare a, b și c
Unghiurile directoare a, b și c, și componentele bazei canonice, ex, ey și ez pentru versorul v/|v|
Articol principal: Coordonate carteziene.

Dacă v este un vector euclidian în spațiul euclidian tridimensional, R3,

v = v x e x + v y e y + v z e z , {\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z},}

unde ex, ey, ez sunt componentele bazei canonice în notația carteziană, atunci cosinusurile directoare sunt[4]

α = cos ⁡ a = v ⋅ e x ‖ v ‖ = v x v x 2 + v y 2 + v z 2 , β = cos ⁡ b = v ⋅ e y ‖ v ‖ = v y v x 2 + v y 2 + v z 2 , γ = cos ⁡ c = v ⋅ e z ‖ v ‖ = v z v x 2 + v y 2 + v z 2 . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha &{}=\cos a={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\beta &{}=\cos b={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\gamma &{}=\cos c={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}}

Ridicând la pătrat fiecare ecuație și adunând rezultatele se obține

cos 2 ⁡ a + cos 2 ⁡ b + cos 2 ⁡ c = α 2 + β 2 + γ 2 = 1. {\displaystyle \cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.}

unde α, β și γ sunt cosinusurile directoare și coordonatele carteziene ale versorului v/|v|, iar a, b și c sunt unghiurile directoare ale vectorului v.

Unghiurile directoare a, b și c sunt unghiuri ascuțite sau obtuze, adică 0 ≤ a ≤ π, 0 ≤ b ≤ π și 0 ≤ c ≤ π, și sunt unghiurile formate între v și componentele bazei canonice, ex, ey și ez.

Înțelesul în general

În general, noțiunea de cosinus director se referă la cosinusul unghiului dintre oricare doi vectori euclidieni.[5] Este o formă mai comodă de generare a elementelor unei matrice de rotație⁠(d) care descrie un set de vectori de bază ortonormali în termenii unei alte mulțimi, sau pentru descrierea unui vector euclidian cunoscut într-o bază diferită. [6][2]

Note

  1. ^ Murgulescu ș.a., Geometrie…, pp. 95–96
  2. ^ a b Stănescu, Algebră…, p. 146
  3. ^ Brândușa Răileanu, Dicționar român–englez de termeni matematici și tehnici, București: Ed. MTTLC, 2016, ISBN: 978-606-760-040-7, p. 75
  4. ^ Stănescu, Algebră…, p. 153
  5. ^ Murgulescu ș.a., Geometrie…, pp. 99–102
  6. ^ Murgulescu ș.a., Geometrie…, pp. 103–110

Bibliografie

  • E. Murgulescu, S. Flexi, O. Kreindler, O. Sacter, M. Tîrnoveanu, Geometrie analitică și diferențială, ed. a II-a, București, Editura Didactică și Pedagogică, 1965
  • Marius Marinel Stănescu, Algebră liniară, geometrie analitică și diferențială, curs, Universitatea din Craiova
  • en Kay, D. C. (). Tensor Calculus. Schaum’s Outlines. McGraw Hill. pp. 18–19. ISBN 0-07-033484-6. 
  • en Spiegel, M. R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (). Vector analysis. Schaum’s Outlines (ed. 2nd). McGraw Hill. pp. 15, 25. ISBN 978-0-07-161545-7. 
  • en Tyldesley, J. R. (). An introduction to tensor analysis for engineers and applied scientists. Longman. p. 5. ISBN 0-582-44355-5. 
  • en Tang, K. T. (). Mathematical Methods for Engineers and Scientists. 2. Springer. p. 13. ISBN 3-540-30268-9. 
  • en Eric W. Weisstein, Direction Cosine la MathWorld.
Portal icon Portal Matematică