Curbură geodezică
Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici. |
În geometria riemanniană(d) curbura geodezică a unei curbe măsoară cât de departe este curba de a fi o geodezică. De exemplu, pentru o curbă unidimensională de pe o suprafață bidimensională încorporată în spațiul tridimensional, este curbura curbei proiectată pe planul tangent la suprafață. Mai general, într-o varietate dată, curbura geodezică este doar curbura obișnuită a curbei (vezi mai jos). Totuși, când curba este restricționată să se afle pe o subvarietate a (de exemplu, la curbele de pe suprafețe), curbura geodezică se referă la curbura în și în general este diferită de curbura din varietatea ambientală . Curbura (ambientală) a depinde de doi factori: curbura subvarietății în direcția (curbura normală ), care depinde numai de direcția curbei și de curbura văzută în (curbura geodezică ), care este o mărime de ordinul al doilea. Relația dintre acestea este . În special, geodezicele de pe au curbură geodezică zero (sunt „drepte”), astfel încât , ceea ce explică de ce par curbate în spațiul ambiental ori de câte ori subvarietatea este curbată.
Definiție
Fie o curbă într-o varietate , parametrizată prin lungimea arcului(d), cu versorul tangent . Curbura sa este norma derivatei covariante(d) a : . Dacă se află pe , curbura geodezică este norma proiecției derivatei covariante pe spațiul tangent la subvarietate. Invers, curbura normală este norma proiecției pe fibratul normal la subvarietate în punctul considerat.
Dacă varietatea ambientală este spațiul euclidian , atunci derivata covariantă este chiar derivata obișnuită .
Exemplu
Fie sfera unitate in spațiul euclidian tridimensional. Curbura normală a lui este 1, independent de direcția luată în considerare. Cercurile mari au curbură , deci au curbură geodezică zero, prin urmare sunt geodezice. Cercurile mai mici cu raza vor avea curbură și curbură geodezică .
Unele rezultate care implică curbura geodezică
- Curbura geodezică nu este alta decât curbura obișnuită a curbei atunci când este calculată intrinsec în subvarietatea . Nu depinde de modul în care subvarietatea se află în .
- Geodezicele au curbură geodezică zero, ceea ce este echivalent cu a spune că este ortogonală cu spațiul tangent la .
- Pe de altă parte, curbura normală depinde foarte mult de modul în care se află subvarietatea în spațiul ambiental, dar marginal de curbă: depinde doar de punctul de pe subvarietate și de direcția , dar nu de .
- În geometria generală riemanniană, derivata este calculată folosind conexiunea Levi-Civita a varietății ambientale: . Ea are o parte tangentă și o parte normală la subvarietate: . Partea tangentă este derivata obișnuită din (este un caz particular de ecuație Gauss din ecuațiile Gauss–Codazzi(d)), în timp ce partea normală este , unde este a doua formă fundamentală.
- Teorema Gauss–Bonnet.
Bibliografie
- en do Carmo, Manfredo P. (), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, ISBN 0-13-212589-7
- en Guggenheimer, Heinrich (), „Surfaces”, Differential Geometry, Dover, ISBN 0-486-63433-7 .
- en Slobodyan, Yu.S. (2001) [1994], "Geodesic curvature", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
Legături externe
![]() | Portal Matematică |
- en Eric W. Weisstein, Geodesic curvature la MathWorld.