Curbură geodezică

În geometria riemanniană^⁠(d) curbura geodezică ${\displaystyle k_{g}}$ a unei curbe ${\displaystyle \gamma }$ măsoară cât de departe este curba de a fi o geodezică. De exemplu, pentru o curbă unidimensională de pe o suprafață bidimensională încorporată în spațiul tridimensional, este curbura curbei proiectată pe planul tangent la suprafață. Mai general, într-o varietate ${\displaystyle {\bar {M}}}$ dată, curbura geodezică este doar curbura obișnuită a curbei ${\displaystyle \gamma }$ (vezi mai jos). Totuși, când curba ${\displaystyle \gamma }$ este restricționată să se afle pe o subvarietate ${\displaystyle M}$ a ${\displaystyle {\bar {M}}}$ (de exemplu, la curbele de pe suprafețe), curbura geodezică se referă la curbura ${\displaystyle \gamma }$ în ${\displaystyle M}$ și în general este diferită de curbura ${\displaystyle \gamma }$ din varietatea ambientală ${\displaystyle {\bar {M}}}$. Curbura (ambientală) ${\displaystyle k}$ a ${\displaystyle \gamma }$ depinde de doi factori: curbura subvarietății ${\displaystyle M}$ în direcția ${\displaystyle \gamma }$ (curbura normală ${\displaystyle k_{n}}$), care depinde numai de direcția curbei și de curbura ${\displaystyle \gamma }$ văzută în ${\displaystyle M}$ (curbura geodezică ${\displaystyle k_{g}}$), care este o mărime de ordinul al doilea. Relația dintre acestea este ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}}$. În special, geodezicele de pe ${\displaystyle M}$ au curbură geodezică zero (sunt „drepte”), astfel încât ${\displaystyle k=k_{n}}$, ceea ce explică de ce par curbate în spațiul ambiental ori de câte ori subvarietatea este curbată.

Fie o curbă ${\displaystyle \gamma }$ într-o varietate ${\displaystyle {\bar {M}}}$, parametrizată prin lungimea arcului^⁠(d), cu versorul tangent ${\displaystyle T=d\gamma /ds}$. Curbura sa este norma derivatei covariante^⁠(d) a ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle k=\|DT/ds\|}$. Dacă ${\displaystyle \gamma }$ se află pe ${\displaystyle M}$, curbura geodezică este norma proiecției derivatei covariante ${\displaystyle DT/ds}$ pe spațiul tangent la subvarietate. Invers, curbura normală este norma proiecției ${\displaystyle DT/ds}$ pe fibratul normal la subvarietate în punctul considerat.

Dacă varietatea ambientală este spațiul euclidian ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, atunci derivata covariantă ${\displaystyle DT/ds}$ este chiar derivata obișnuită ${\displaystyle dT/ds}$.

Fie ${\displaystyle M}$ sfera unitate ${\displaystyle S^{2}}$ in spațiul euclidian tridimensional. Curbura normală a lui ${\displaystyle S^{2}}$ este 1, independent de direcția luată în considerare. Cercurile mari au curbură ${\displaystyle k=1}$, deci au curbură geodezică zero, prin urmare sunt geodezice. Cercurile mai mici cu raza ${\displaystyle r}$ vor avea curbură ${\displaystyle 1/r}$ și curbură geodezică ${\displaystyle k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}}$.

• Curbura geodezică nu este alta decât curbura obișnuită a curbei atunci când este calculată intrinsec în subvarietatea ${\displaystyle M}$. Nu depinde de modul în care subvarietatea ${\displaystyle M}$ se află în ${\displaystyle {\bar {M}}}$.
• Geodezicele ${\displaystyle M}$ au curbură geodezică zero, ceea ce este echivalent cu a spune că ${\displaystyle DT/ds}$ este ortogonală cu spațiul tangent la ${\displaystyle M}$.
• Pe de altă parte, curbura normală depinde foarte mult de modul în care se află subvarietatea în spațiul ambiental, dar marginal de curbă: ${\displaystyle k_{n}}$ depinde doar de punctul de pe subvarietate și de direcția ${\displaystyle T}$, dar nu de ${\displaystyle DT/ds}$.
• În geometria generală riemanniană, derivata este calculată folosind conexiunea Levi-Civita ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ a varietății ambientale: ${\displaystyle DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T}$. Ea are o parte tangentă și o parte normală la subvarietate: ${\displaystyle {\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }}$. Partea tangentă este derivata obișnuită ${\displaystyle \nabla _{T}T}$ din ${\displaystyle M}$ (este un caz particular de ecuație Gauss din ecuațiile Gauss–Codazzi^⁠(d)), în timp ce partea normală este ${\displaystyle \mathrm {I\!I} (T,T)}$, unde ${\displaystyle \mathrm {I\!I} }$ este a doua formă fundamentală.
• Teorema Gauss–Bonnet.

• en do Carmo, Manfredo P. (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, ISBN 0-13-212589-7 
• en Guggenheimer, Heinrich (1977), „Surfaces”, Differential Geometry, Dover, ISBN 0-486-63433-7 .
• en Slobodyan, Yu.S. (2001) [1994], "Geodesic curvature", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.

Portal Matematică

• en Eric W. Weisstein, Geodesic curvature la MathWorld.