Distanță Minkowski

Nu confundați cu metrica pseudoeuclidiană a spațiului Minkowski

Distanța Minkowski sau metrica Minkowski este o metrică într-un spațiu vectorial normat, care poate fi considerată ca o generalizare atât a distanței euclidiene, cât și a distanței Manhattan. Este numită după matematicianul german Hermann Minkowski.

Distanța Minkowski de ordinul ${\displaystyle p}$ (unde ${\displaystyle p}$ este un întreg) între două puncte $${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}){\text{ and }}Y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$$ este definită drept:^[1] $${\displaystyle D\left(X,Y\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$$ Pentru ${\displaystyle p\geq 1,}$ distanța Minkowski este metrica care rezultă din inegalitatea lui Minkowski. Când ${\displaystyle p<1,}$ distanța între ${\displaystyle (0,0)}$ și ${\displaystyle (1,1)}$ este ${\displaystyle 2^{1/p}>2,}$ dar punctul ${\displaystyle (0,1)}$ este la distanța ${\displaystyle 1}$ de ambele aceste puncte. Deoarece aceasta nu corespunde inegalității triunghiului, pentru ${\displaystyle p<1}$ nu este o metrică. Totuși pentru aceste valori se poate obține o metrică prin simpla omitere a exponentului ${\displaystyle 1/p.}$ Metrica rezultantă este o F-normă.

De obicei distanța Minkowski este folosită cu ${\displaystyle p}$ 1 sau 2, care corespund distanței Manhattan, respectiv distanței euclidiene. În cazul limită când ${\displaystyle p}$ tinde la infinit, se obține distanța Cebîșev:^[2] $${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\max _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.}$$

Similar, când ${\displaystyle p}$ tinde spre infinitul negativ, se obține: $${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\min _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.}$$

Distanța Minkowski poate fi văzută și ca un multiplu al mediei generalizate a diferențelor dintre componentele ${\displaystyle P}$ și ${\displaystyle Q.}$

Următoarele figuri arată cercurile unitare (mulțimea tuturor punctelor care se află la distanța de o unitate față de centru) pentru diferite valori ale ${\displaystyle p}$:

• Florin Iocob, Matematică - Anul I: Cursul 6 Arhivat în 6 august 2021, la Wayback Machine., Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2021-08-05

Portal Matematică

• en Simple IEEE 754 implementation in C++
• en NPM JavaScript Package/Module