F-spațiu
În analiza funcțională un F-spațiu este un spațiu vectorial V pe mulțimea numerelor reale sau complexe împreună cu o metrică d : V × V → ℝ astfel încât
- Înmulțirea scalară în V este continuă în raport cu d și cu metrica standard pe ℝ sau ℂ.
- Adunarea în V este continuă în raport cu d.
- Metrica este invariantă la translație, adică d(x + a, y + a) = d(x, y) pentru orice x, y și a din V.
- Spațiul metric (V, d) este complet.
Operația x ↦ ||x|| := d(0,x) este numită F-normă, deși în general nu este necesară o F-normă pentru a fi completă. Prin translație-invarianță, metrica este recuperabilă din F-normă. Astfel, un F-spațiu real sau complex este echivalent un spațiu vectorial real sau complex dotat cu o F-normă completă.
Unii autori folosesc termenul spațiu Fréchet(d) în loc de F-spațiu, dar de obicei termenul „spațiu Fréchet” este rezervat F-spațiilor convexe local(d). Alți autori folosesc termenul F-spațiu ca sinonim al spațiului Fréchet prin care ei înțeleg un spațiu vectorial topologic(d) convex local complet metrizabil(d). Metrica poate fi sau nu neapărat parte a structurii unui F-spațiu; mulți autori cer doar ca un astfel de spațiu să fie metrizabil într-un mod care să satisfacă proprietățile de mai sus.
Exemple
Toate spațiile Banach și Fréchet sunt F-spații. În particular, un spațiu Banach este un F-spațiu cu o cerință suplimentară, d(αx, 0) = |α|⋅d(x, 0).[1]
Spațiile Lp pot fi transformate în F-spații pentru orice p ≥ 0 iar pentru p ≥ 1 ele pot fi transformate în convexe local, în spații Fréchet și chiar spații Banach.
Exemplul 1
este un F-spațiu. Nu admite seminorme continue și nici funcționale liniare continue — are spațiul dual(d) trivial.
Exemplul 2
Fie spațiul valorilor complexe ale seriilor Taylor
pe discul unitate astfel încât
atunci (pentru 0 < p < 1) sunt F-spații cu p-norma:
De fapt, este o cvasinormă(d). Mai mult, pentru orice cu aplicația este o transformare liniară mărginită (funcțională multiplicativă) pe .
Condiții suficiente
- Fie d orice[note 1] metrică pe un spațiu vectorial X astfel încât topologia 𝜏 indusă de d pe X transformă (X, 𝜏) într-un spațiu vectorial topologic. Dacă (X, d) este in spațiu metric complet, atunci (X, 𝜏) este un spațiu vectorial topologic complet.
Proprietăți conexe
- O transformare liniară aproape continuă într-un F-spațiu F al cărui grafic este închis este continuă.[4]
- O transformare liniară aproape deschisă într-un F-spațiu al cărui grafic este închis este neapărat o aplicație deschisă(d).[4]
- O transformare liniară continuă aproape deschisă dintr-un F-spațiu este neapărat o aplicație deschisă.[5]
- O transformare liniară continuă aproape deschisă dintr-un F-spațiu a cărei imagine în codomeniu este din a doua categorie(d)[6] este în mod necesar o aplicație deschisă surjectivă.[4]
Note explicative
- ^ Nu se presupune că este invariantă la translație.
Note
- ^ en Dunford N., Schwartz J.T. (1958). Linear operators. Part I: general theory. Interscience publishers, inc., New York. p. 59
- ^ Schaefer & Wolff 1999, p. 35.
- ^ en Klee, V. L. (). „Invariant metrics in groups (solution of a problem of Banach)” (PDF). Proc. Amer. Math. Soc. 3 (3): 484–487. doi:10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4
.
- ^ a b c Husain 1978, p. 14.
- ^ Husain 1978, p. 15.
- ^ Ion Colțescu, Gheorghe Dogaru, Analiză matematică, calcul diferențial, Constanța: Ed. Academiei Navale „Mircea cel Bătrân”, 2012, p. 53
Bibliografie
- en Husain, Taqdir (). Barrelledness in topological and ordered vector spaces. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665.
- en Khaleelulla, S. M. (). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- en Rudin, Walter (), Real & Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1
- en Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (). Topological Vector Spaces. Graduate Texts in Mathematics. 8 (ed. Second). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
![]() | Portal Matematică |