Fagure cubic
Fagure cubic | |
![]() ![]() | |
Tip | fagure regulat, din familia fagurilor hipercubici |
---|---|
Simbol Schläfli | {4,3,4} |
Diagramă Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Celule | {4,3} ![]() |
Fețe | pătrat {4} |
Laturi | [{4,3}]4 |
Figura vârfului | ![]() (octaedru) |
Grup Coxeter | , [4,3,4] |
Grup de simetrie | Pm3m (221) |
Dual | autodual |
Proprietăți | Fagure regulat, convex, tranzitiv pe vârfuri, laturi și fețe |
Index uniform | J11,15, A1, W1, G22[1] |
Un fagure cubic este singura teselare regulată (sau fagure) a spațiului euclidian tridimensional cu celule cubice. Este tranzitiv pe vârfuri, având câte 8 cuburi în jurul fiecărui vârf. Este tranzitiv pe laturi, cu câte 4 cuburi în jurul fiecărei laturi. De asemenea, este tranzitiv pe fețe, cu câte 2 cuburi în jurul fiecărei fețe. Este autodual, cu simbolul Schläfli {4,3,4}.
Faguri înrudiți
Face parte dintr-o familie multidimensională de faguri hipercubici, cu simboluri Schläfli de forma {4,3,...,3,4}, începând cu pavarea pătrată {4,4} în plan.
Este unul dintre cei 28 de faguri uniformi convecși(d) cu celule poliedre uniforme convexe.
Izometriile rețelelor cubice simple
Rețelele cubice simple pot fi distorsionate în simetrii inferioare, reprezentate de sisteme cristaline inferioare:
Sistem cristalin | Monoclinic Triclinic | Ortorombic | Tetragonal | Hexagonal | Cubic |
---|---|---|---|---|---|
Celulă | Paralelipiped | Cuboid dreptunghic | Cuboid pătrat | Trapezoedru trigonal | Cub |
Grup punctual(d) Ordin Subgrup de rotație | [ ], (*) Ordin 2 [ ]+, (1) | [2,2], (*222) Ordin 8 [2,2]+, (222) | [4,2], (*422) Ordin 16 [4,2]+, (422) | [3], (*33) Ordin 6 [3]+, (33) | [4,3], (*432) Ordin 48 [4,3]+, (432) |
Formă | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Grup spațial(d) Subgrup de rotație | Pm (6) P1 (1) | Pmmm (47) P222 (16) | P4/mmm (123) P422 (89) | R3m (160) R3 (146) | Pm3m (221) P432 (207) |
Notația Coxeter | - | [∞]a×[∞]b×[∞]c | [4,4]a×[∞]c | - | [4,3,4]a |
Diagramă Coxeter | - | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | - | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Colorare uniformă
Există un număr mare de colorări uniforme, derivate din diferite simetrii. Acestea includ:
Notația Coxeter Grup spațial | Diagramă Coxeter | Simbol Schläfli | Fagure parțial | Culorile pe litere |
---|---|---|---|---|
[4,3,4] Pm3m (221) | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,4} | ![]() | 1: aaaa/aaaa |
[4,31,1] = [4,3,4,1+] Fm3m (225) | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,31,1} | ![]() | 2: abba/baab |
[4,3,4] Pm3m (221) | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | t0,3{4,3,4} | ![]() | 4: abbc/bccd |
[[4,3,4]] Pm3m (229) | ![]() ![]() ![]() | t0,3{4,3,4} | 4: abbb/bbba | |
[4,3,4,2,∞] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() or ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,4}×t{∞} | ![]() | 2: aaaa/bbbb |
[4,3,4,2,∞] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | t1{4,4}×{∞} | ![]() | 2: abba/abba |
[∞,2,∞,2,∞] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | t{∞}×t{∞}×{∞} | ![]() | 4: abcd/abcd |
[∞,2,∞,2,∞] = [4,(3,4)*] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | t{∞}×t{∞}×t{∞} | ![]() | 8: abcd/efgh |
Proiecții
Fagurele cubic poate fi proiectat ortogonal în planul euclidian cu diverse aranjamente de simetrie. Cea mai înaltă formă de simetrie (hexagonală) se proiectează într-o pavare triunghiulară. O proiecție cu simetrie pătrată formează o pavare pătrată.
Simetrie | p6m (*632) | p4m (*442) | pmm (*2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Imagine | ![]() | ![]() | ![]() | ||
Cadru de sârmă | ![]() | ![]() | ![]() |
Politopuri și faguri înrudiți
Este înrudit cu 4-politopul regulat tesseract, simbol Schläfli {4,3,3}, care există în spațiul cvadridimensional și are doar 3 cuburi în jurul fiecărei laturi. Este, de asemenea, legat de fagurele cubic de ordinul 5, simbolul Schläfli {4,3,5}, din spațiul hiperbolic, cu 5 cuburi în jurul fiecărei laturi.
Apare în succesiunea de politopuri și faguri cu figura vârfului octaedrul:
Faguri regulați {p,3,4} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Spațiu | S3 | E3 | H3 | ||||||||
Formă | Finit | Afin | Compact | Paracompact | Necompact | ||||||
Nume | {3,3,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {5,3,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {6,3,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {7,3,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {8,3,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ... {∞,3,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
Imagine | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
Celule | ![]() {3,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {5,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {6,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {7,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {8,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {∞,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Face parte din șirul de politopuri regulate și faguri cu celule cubice:
Faguri regulați {4,3,p} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Spațiu | S3 | E3 | H3 | ||||||||
Formă | Finit | Afin | Compact | Paracompact | Necompact | ||||||
Nume![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,3}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,5}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,6}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,7}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,8}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ... {4,3,∞}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
Imagine | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
Figura vârfului ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Faguri regulați {p,3,p} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Spațiu | S3 | E3 | H3 | ||||||||
Formă | Finit | Afin | Compact | Paracompact | Necompact | ||||||
Nume | {3,3,3} | {4,3,4} | {5,3,5} | {6,3,6} | {7,3,7} | {8,3,8} | ...{∞,3,∞} | ||||
Imagine | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
Celule | ![]() {3,3} | ![]() {4,3} | ![]() {5,3} | ![]() {6,3} | ![]() {7,3} | ![]() {8,3} | ![]() {∞,3} | ||||
Figura vârfului | ![]() {3,3} | ![]() {3,4} | ![]() {3,5} | ![]() {3,6} | ![]() {3,7} | ![]() {3,8} | ![]() {3,∞} |
Note
- ^ en For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
Bibliografie
- en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
- en H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
- en George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs)
- en Branko Grünbaum, Uniform tilings of 3-space. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
- en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Uniform space-fillings)
- it Alfredo Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative, Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
- en Klitzing, Richard. „3D Euclidean Honeycombs x4o3o4o - chon - O1”.
- en Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon
- en The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, ISBN: 0-486-40919-8 (Chapter 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space Arhivat în , la Wayback Machine.) Table III
- en Norman Johnson, Ruth Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups, (2002) H3: p130. [2]
![]() | Portal Matematică |
v • d • m Faguri convecși regulați și uniformi în dimensiunile 2–8 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Spațiu | Familia | / / | ||||
E2 | Pavare uniformă | {3[3]} | δ3 | hδ3 | qδ3 | Hexagonală |
E3 | Fagure convex uniform | {3[4]} | δ4 | hδ4 | qδ4 | |
E4 | 4-fagure uniform | {3[5]} | δ5 | hδ5 | qδ5 | Fagure 24-celule |
E5 | 5-fagure uniform | {3[6]} | δ6 | hδ6 | qδ6 | |
E6 | 6-fagure uniform | {3[7]} | δ7 | hδ7 | qδ7 | 222 |
E7 | 7-fagure uniform | {3[8]} | δ8 | hδ8 | qδ8 | 133 • 331 |
E8 | 8-fagure uniform | {3[9]} | δ9 | hδ9 | qδ9 | 152 • 251 • 521 |
En-1 | (n−1)-fagure uniform | {3[n]} | δn | hδn | qδn | 1k2 • 2k1 • k21 |