Gen aritmetic

În matematică genul aritmetic al unei varietăți algebrice^⁠(d) este una dintre puținele generalizări posibile ale genului unei curbe algebrice^⁠(d) sau ale unei suprafețe Riemann^⁠(d).

Fie X o schemă proiectivă de dimensiune r peste un corp k. Genul aritmetic ${\displaystyle p_{a}}$ al lui X este definit drept

${\displaystyle p_{a}(X)=(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1).}$

Aici ${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}_{X})}$ este caracteristica Euler a fibratului cu structura ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$.^[1]

Genul aritmetic al unei varietăți proiective complexe^⁠(d) de dimensiunea n poate fi definit ca o combinație de numere Hodge^⁠(d), și anume:

${\displaystyle p_{a}=\sum _{j=0}^{n-1}(-1)^{j}h^{n-j,0}.}$

Când n=1, formula devine ${\displaystyle p_{a}=h^{1,0}}$. În conformitate cu teorema Hodge aplicată varietăților proiective complexe, ${\displaystyle h^{0,1}=h^{1,0}}$. Prin urmare, ${\displaystyle h^{0,1}=h^{1}(X)/2=g}$, unde g este semnificația obișnuită (topologică) a genului unei suprafețe, deci definițiile sunt compatibile.

Când X este o varietate Kähler compactă, aplicând ${\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}}$ se obține definiția anterioară pentru varietățile proiective.

Folosind ${\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}}$ pentru varietăți compacte Kähler acest lucru poate fi reformulat ca fiind caracteristica Euler în coomologie coerentă^⁠(d) pentru structura fibratului^⁠(d) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$:

${\displaystyle p_{a}=(-1)^{n}(\chi ({\mathcal {O}}_{M})-1).}$

Prin urmare, această definiție poate fi aplicată altor spații inelare locale.

• en Phillip Griffiths; Joe Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library (ed. 2nd). Wiley Interscience. p. 494. ISBN 0-471-05059-8. Zbl 0836.14001. 
• en Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3 

• en Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. Topological methods in algebraic geometry. Classics in Mathematics. Translation from the German and appendix one by R. L. E. Schwarzenberger. Appendix two by A. Borel (ed. Reprint of the 2nd, corr. print. of the 3rd). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-58663-6. Zbl 0843.14009. 

• Gen (matematică)
• Gen geometric

Portal Matematică