În analiza matematică, inegalitatea lui Hölder, care poartă numele matematicianului german Otto Hölder, reprezintă o relație fundamentală în cadrul spațiilor spațiilor Lp.
Fie S un spațiu măsurabil, și fie 1 ≤ p, q ≤ ∞ cu 1/p + 1/q = 1, iar f o funcție definită pe Lp(S) și g definită pe Lq(S). Atunci fg parcurge L1(S) și
![{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc6ef64b19122c3944cfee255b4f7cbd9f9afd9)
Dacă S ={1,...,n}, obținem un caz particular al inegalității :
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42233a6c7f2c684336ff7294d734474f8dec203c)
valabilă pentru toate numerele reale (sau complexe) x1,...,xn, y1,...,yn.
Pentru p = q = 2, obținem Inegalitatea Cauchy-Schwarz.
Inegalitatea lui Hölder este utilizată pentru a demonstra inegalitatea triunghiului în spațiul Lp, în multe cazuri fiind denumită inegalitatea Minkowski, dar și pentru a demonstra că Lp este spațiul dual asociat lui Lq și aceasta dacă
.
Demonstrație
Faptul că funcția logaritm natural este o funcție concavă ne permite să scriem că, pentru orice numere reale strict pozitive a și b și pentru orice p și q pentru care
sunt pozitive și au suma 1:
, sau folosind funcția exponențială:
(1)
Să presupunem că
Luând
și
din inegalitățile de mai sus, apoi însumând pentru k de la 1 la n, obținem:
(2)
Acum să presupunem că
și
sunt nenule (adică cel puțin unul dintre
și cel puțin unul dintre
sunt nenule). Punând
și
putem să aplicăm inegalitatea (2) cu acei coeficienți
și
, de unde obținem inegalitatea lui Hölder. Acesta este evidentă dacă toți
și toți
sunt nuli.
Generalizare
Această inegalitate se poate generaliza astfel: Fie
cu
, atunci:
Avem
și
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/30px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png) | Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui. |