Inegalitatea Hölder

În analiza matematică, inegalitatea lui Hölder, care poartă numele matematicianului german Otto Hölder, reprezintă o relație fundamentală în cadrul spațiilor spațiilor L^p.

Fie S un spațiu măsurabil, și fie 1 ≤ p, q ≤ ∞ cu 1/p + 1/q = 1, iar f o funcție definită pe L^p(S) și g definită pe L^q(S). Atunci fg parcurge L¹(S) și

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

Dacă S ={1,...,n}, obținem un caz particular al inegalității :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}}$

valabilă pentru toate numerele reale (sau complexe) x₁,...,x_n, y₁,...,y_n.

Pentru p = q = 2, obținem Inegalitatea Cauchy-Schwarz.

Inegalitatea lui Hölder este utilizată pentru a demonstra inegalitatea triunghiului în spațiul L^p, în multe cazuri fiind denumită inegalitatea Minkowski, dar și pentru a demonstra că L^p este spațiul dual asociat lui L^q și aceasta dacă ${\displaystyle p\neq 1}$.

Faptul că funcția logaritm natural este o funcție concavă ne permite să scriem că, pentru orice numere reale strict pozitive a și b și pentru orice p și q pentru care ${\displaystyle {\frac {1}{p}},{\frac {1}{q}}}$ sunt pozitive și au suma 1: ${\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(a)+{\frac {1}{q}}\ln(b)\leq \ln({\frac {1}{p}}a+{\frac {1}{q}}b)}$, sau folosind funcția exponențială: ${\displaystyle a^{1/p}b^{1/q}\leq {\frac {1}{p}}a+{\frac {1}{q}}b.}$ (1)

Să presupunem că ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}=\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}=1.}$ Luând ${\displaystyle a=|x_{k}|^{p}}$ și ${\displaystyle b=|y_{k}|^{q}}$ din inegalitățile de mai sus, apoi însumând pentru k de la 1 la n, obținem: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq 1.}$ (2)

Acum să presupunem că ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}}$ și ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}}$ sunt nenule (adică cel puțin unul dintre ${\displaystyle x_{k}}$ și cel puțin unul dintre ${\displaystyle y_{k}}$ sunt nenule). Punând ${\displaystyle x'_{i}={\frac {x_{i}}{\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}}}}$ și ${\displaystyle y'_{i}={\frac {y_{i}}{\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}}}}$ putem să aplicăm inegalitatea (2) cu acei coeficienți ${\displaystyle x'_{i}}$ și ${\displaystyle y'_{i}}$, de unde obținem inegalitatea lui Hölder. Acesta este evidentă dacă toți ${\displaystyle x_{k}}$ și toți ${\displaystyle y_{k}}$ sunt nuli.

Această inegalitate se poate generaliza astfel: Fie ${\displaystyle {f}_{k}\in {L}^{p_{k}}(S)}$ cu ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}1/p_{k}=1}$, atunci:

Avem ${\displaystyle {f}_{1}...{f}_{n}\in {L}^{1}(S)}$ și ${\displaystyle \|f_{1}...f_{n}\|_{1}\leq \|f_{1}\|_{p_{1}}...\|f_{n}\|_{p_{n}}.}$

Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.