Pentru alte sensuri, vedeți Matrice (dezambiguizare).
În matematică, o matrice (plural matrice [ 1] sau matrici [ 2] ) este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice de tip inel. Prin generalizare, pot fi definite matrice cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci matrici n -dimensionale. Dacă m = n , matricea este pătrată .
Definiție Se numește matrice cu m linii și n coloane (de tip m × n {\displaystyle m\times n\!} ) un tablou cu m linii și n coloane:
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}\!} ale cărui elemente a i j {\displaystyle a_{ij}\!} sunt numere complexe .
Uneori această matrice se notează cu indici , A = ( a i j ) , {\displaystyle A=\left(a_{ij}\right),} unde i = 1 , m ¯ {\displaystyle i={\overline {1,m}}} și j = 1 , n ¯ . {\displaystyle j={\overline {1,n}}.}
Pentru elementul a i j {\displaystyle a_{ij}} indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j , indică pe ce coloană este situat.
Mulțimea matricilor de tip m × n {\displaystyle m\times n\!} cu elemente numere reale se notează prin M m , n ( R ) . {\displaystyle M_{m,n}(\mathbb {R} ).} Aceleași semnificații au și mulțimile M m , n ( Z ) , M m , n ( Q ) , M m , n ( C ) . {\displaystyle M_{m,n}(\mathbb {Z} ),M_{m,n}(\mathbb {Q} ),M_{m,n}(\mathbb {C} ).}
Cazuri particulare 1. O matrice de tipul 1 × n {\displaystyle 1\times n\!} (deci cu o linie și n coloane) se numește matrice linie și are forma:
A = ( a 1 a 2 ⋯ a n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}} 2. O matrice de tipul m × 1 {\displaystyle m\times 1\!} (deci cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma:
B = ( a 1 a 2 ⋯ a m ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\cdots \\a_{m}\end{pmatrix}}} 3. O matrice de tip m × n {\displaystyle m\times n\!} se numește nulă (sau matrice zero ) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O :
O = ( 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ 0 ) {\displaystyle O={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}} 4. Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătrată :
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}} Sistemul de elemente ( a 11 a 22 ⋯ a n n ) {\displaystyle (a_{11}\;a_{22}\;\cdots \;a_{nn})\!} reprezintă diagonala principală a matricei A , iar suma acestor elemente se numește urma matricei A notată:
T r ( A ) = ∑ i = 1 n a i i . {\displaystyle Tr(A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}.} Mulțimea matricelor pătrate se notează M n ( C ) . {\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} ).\!} Printre aceste matrice, una este foarte importantă, aceasta fiind:
I n = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ 1 ) {\displaystyle I_{n}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}} și se numește matrice unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1 , iar în rest sunt egale cu 0 ).
Egalitatea a două matrice Fie A = ( a i , j ) {\displaystyle A=(a_{i,j})} , B = ( b i , j ) ∈ M m , n ( C ) {\displaystyle B=(b_{i,j})\in M_{m,n}(C)} . Se spune că matricele A , B {\displaystyle A,B} sunt egale și se scrie A = B {\displaystyle A=B} dacă a i , j = b i , j , ∀ i , j = 1 , n ¯ {\displaystyle a_{i,j}=b_{i,j},\forall i,j={\overline {1,n}}}
Transpusa unei matrice Fie A = ( a i , j ) ∈ M n , n ( C ) {\displaystyle A=(a_{i,j})\in M_{n,n}(C)} . Transpusa matricei A este:
A T = B = ( b i , j ) ∈ M n , m ( C ) {\displaystyle A^{T}=B=(b_{i,j})\in M_{n,m}(C)} dată de: b i , j = a j , i ∀ i = 1 , n ¯ ; = 1 , m ¯ {\displaystyle b_{i,j}=a_{j,i}\forall i={\overline {1,n}};={\overline {1,m}}}
Matrice simetrică Fie matricea pătrată A = ( a i , j ) ∈ M n , n ( C ) {\displaystyle A=(a_{i,j})\in M_{n,n}(C)} . Se spune că matricea A {\displaystyle A} este simetrică dacă este egală cu transpusa ei: : a i , j = a j , i , ∀ i , j = 1 , n ¯ {\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i},\forall i,j={\overline {1,n}}}
Operații cu matrice
Adunarea matricelor Fie A = ( a i j ) , B = ( b i j ) , C = ( c i j ) ∈ M m , n ( C ) . {\displaystyle A=(a_{ij}),\;B=(b_{ij}),\;C=(c_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).\!}
Matricea C se numește suma matricelor A , B dacă:
c i j = a i j + b i j , ∀ i = 1 , m ¯ , ∀ j = 1 , n ¯ . {\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\;\forall i={\overline {1,m}},\forall j={\overline {1,n}}.} Observații. 1. Două matrice se pot aduna dacă sunt de același tip , adică au același număr de linii și același număr de coloane, deci A , B ∈ M m , n ( C ) . {\displaystyle A,B\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}
2. Explicit, adunarea matricelor A, B înseamnă:
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) + ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ b m 1 b m 2 ⋯ b m n ) = {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{pmatrix}}=} = ( a 11 + b 11 a 12 + b 12 ⋯ a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 ⋯ a 2 n + b 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 ⋯ a m n + b m n ) . {\displaystyle ={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}}.}
Proprietăți ale adunării matricelor Asociativitatea adunării . Adunarea matricelor este asociativă , adică:
( A + B ) + C = A + ( B + C ) , ∀ A , B , C ∈ M m , n ( C ) . {\displaystyle (A+B)+C=A+(B+C),\;\forall A,B,C\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).} Comutativitatea adunării . Adunarea matricelor este comutativă , adică:
A + B = B + A , ∀ A , B ∈ M m , n ( C ) . {\displaystyle A+B=B+A,\;\forall A,B\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).} Element neutru . Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element neutru , adică:
∃ O m , n ∈ M m , n ( C ) {\displaystyle \exists O_{m,n}\in M_{m,n}(\mathbb {C} )\!} astfel încât A + O m , n = A ∀ A ∈ M m , n ( C ) . {\displaystyle A+O_{m,n}=A\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).} Element opus . Orice matrice A ∈ M m , n ( C ) {\displaystyle A\in M_{m,n}(\mathbb {C} )\!} are un opus, notat − A , {\displaystyle -A,} astfel încât:
A + ( − A ) = O m , n . {\displaystyle A+(-A)=O_{m,n}.}
Înmulțirea cu scalari a matricelor Fie λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } și A = ( a i j ) ∈ M m , n ( C ) . {\displaystyle A=(a_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).} Se numește produsul dintre scalarul λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \!} și matricea A , matricea notată λ A ∈ M m , n ( C ) {\displaystyle \lambda A\in M_{m,n}(\mathbb {C} )} definită prin λ A = ( λ a i j ) . {\displaystyle \lambda A=(\lambda a_{ij}).}
Observație A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricei cu acest scalar. Deci:
λ A = ( λ a 11 λ a 12 ⋯ λ a 1 n λ a 21 λ a 22 ⋯ λ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ λ a m 1 λ a m 2 ⋯ λ a m n ) . {\displaystyle \lambda A={\begin{pmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots &\lambda a_{1n}\\\lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots &\lambda a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots &\lambda a_{mn}\end{pmatrix}}.}
Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari λ ( μ A ) = ( λ μ ) A , ∀ λ , μ ∈ C , ∀ A ∈ M m , n ( C ) ; {\displaystyle \lambda (\mu A)=(\lambda \mu )A,\;\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} );} λ ( A + B ) = λ A + λ B , ∀ λ ∈ C , ∀ A , B ∈ M m , n ( C ) ; {\displaystyle \lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B,\;\forall \lambda \in \mathbb {C} ,\;\forall A,B\in M_{m,n}(\mathbb {C} );} ( λ + μ ) A = λ A + μ A , ∀ λ , μ ∈ C , ∀ A ∈ M m , n ( C ) ; {\displaystyle (\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A,\;\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} );} 1 ⋅ A = A , 1 ∈ C , ∀ A ∈ M m , n ( C ) . {\displaystyle 1\cdot A=A,\;1\in \mathbb {C} ,\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}
Înmulțirea matricelor Există mai multe tipuri de produse ale matricilor . Operația prezentată în continuare este cunoscută sub denumirea de înmulțirea matricială .[ 3]
Fie A = ( a i k ) ∈ M m , n ( C ) , B = ( b k j ) ∈ M n , p ( C ) . {\displaystyle A=(a_{ik})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ),\;B=(b_{kj})\in M_{n,p}(\mathbb {C} ).}
Produsul dintre matricele A și B (în această ordine), notat A B {\displaystyle AB} este matricea C = ( c i j ) ∈ M m , p ( C ) , {\displaystyle C=(c_{ij})\in M_{m,p}(\mathbb {C} ),} definită prin:
c i j = ∑ k = 1 n a i k b k j , ∀ i = 1 , m ¯ , j = 1 , p ¯ . {\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},\;\forall i={\overline {1,m}},j={\overline {1,p}}.} Observații Produsul A B {\displaystyle AB} a două matrice nu se poate efectua întotdeauna decât dacă A ∈ M m , n ( C ) , B ∈ M n , p ( C ) , {\displaystyle A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ),B\in M_{n,p}(\mathbb {C} ),} adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B , când se obține o matrice C = A B ∈ M m , p ( C ) . {\displaystyle C=AB\in M_{m,p}(\mathbb {C} ).}
Dacă matricele sunt pătrate A , B ∈ M n ( C ) {\displaystyle A,B\in M_{n}(\mathbb {C} )} atunci are sens întotdeauna atât A B {\displaystyle AB} cât și B A , {\displaystyle BA,} iar în general, A B ≠ B A {\displaystyle AB\neq BA} adică înmulțirea matricelor nu este comutativă .
Proprietățile înmulțirii matricelor Asociativitatea înmulțirii . Înmulțirea matricelor este asociativă, adică:
( A B ) C = A ( B C ) , ∀ A ∈ M m , n ( C ) , ∀ B ∈ M n , p ( C ) , ∀ C ∈ M p , r ( C ) , {\displaystyle (AB)C=A(BC),\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ),\;\forall B\in M_{n,p}(\mathbb {C} ),\;\forall C\in M_{p,r}(\mathbb {C} ),} Distributivitatea înmulțirii față de adunare . Înmulțirea matricelor este distributivă în raport cu adunarea matricelor, adică:
( A + B ) C = A C + B C , C ( A + B ) = C A + C B , ∀ A , B , C {\displaystyle (A+B)C=AC+BC,\;C(A+B)=CA+CB,\;\forall A,B,C} matrice pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.
Dacă I n ∈ M n ( C ) {\displaystyle I_{n}\in M_{n}(\mathbb {C} )} este matricea unitate , atunci:
I n A = A I n = A , ∀ A ∈ M n ( C ) . {\displaystyle I_{n}A=AI_{n}=A,\;\forall A\in M_{n}(\mathbb {C} ).} se spune că I n {\displaystyle I_{n}\!} este element neutru .
Determinanți Articol principal: Determinant (matematică).
Dacă A = ( a i j ) ∈ M n ( K ) , {\displaystyle A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{n}(K),} este o matrice pătrată cu elemente din K , atunci numărul:
d e t ( A ) = ∑ σ ∈ S n ε ( σ ) a 1 σ ( 1 ) ⋯ a n σ ( n ) {\displaystyle det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\varepsilon (\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}} se numește determinantul lui A .
Note ^ Forma matrice este impusă de Dicționarul ortografic, ortoepic și morfologic al limbii române (2005). ^ Forma matrici apare în tratate de specialitate și cursuri universitare, de exemplu:Iacob, Caius (1957 ). „VIII.B - Matrici. Grupuri. Spații lineare”. Curs de matematici superioare . București: Editura Tehnică. pp. 808–851. Țițeica, Șerban : Mecanică cuantică , Editura Academiei RSR, București, 1984, V: Spații vectoriale finit-dimensionale, pp. 83–108. ^ Anca Ignat, Calcul numeric Arhivat în 13 iunie 2023 , la Wayback Machine . (curs 2, 2022, p. 2), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași , accesat 2023-06-13
Bibliografie Academia Română , Institutul de Lingvistică „Iorgu Iordan - Al. Rosetti”, Dicționarul ortografic, ortoepic și morfologic al limbii române , Ediția a II-a revăzută și adăugită, Editura Univers Enciclopedic, București, 2005 ISBN 973-637-087-x Mădălina Roxana Buneci, Elemente de analiză matricială , (curs) utgjiu.ro, 2007
Lectură suplimentară Tiberiu Ionescu, Grafuri, aplicații , vol. I, (pp.71-143 & passim) Editura Didactică și Pedagogică, București - 1973; Alexandru Al. Roșu, Teoria grafelor, algoritmi, aplicații (cap. 4. Matrice asociate grafelor , pp.98-113 & passim), Editura Militară, București - 1974.
Vezi și
Legături externe Portal Matematică