Micul dodecicosaedru

Micul dodecicosaedru
(model 3D)
Descriere
Tippoliedru uniform neconvex
Fețe32 (20 hexagoane,
      12 decagoane)
Laturi (muchii)120
Vârfuri60
χ−28
Configurația vârfului6.10.6/5.10/9[1]
Simbol Wythoff3 5 (3/2 5/4) |[2]
Diagramă Coxeter (acoperire dublă triunghiuri)
(acoperire dublă pentagrame)
Grup de simetrieIh, [5,3], (*532) [1]
Volum≈2,240 a3   (a = latura)
Poliedru dualmicul dodecicosacron
Proprietățiuniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie micul dodecicosaedru este un poliedru uniform neconvex, cu indicele U50. Are 32 de fețe (20 hexagoane și 12 decagoane), 120 de laturi și 60 de vârfuri.[1] Având 32 de fețe este un icosidodecaedru. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Figura vârfului este un antiparalelogram. Are simbolul Wythoff 3 5 (3/2 5/4) |.[2]

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Având în comun vârfurile cu marele dodecaedru trunchiat stelat, coordonatele carteziene ale vârfurilor unui mic dodecicosaedru cu lungimea laturii 2, centrat în origine,[3][4] sunt toate permutările pare ale:

( 0 , ± 1 , ± ( 3 φ − 4 ) ) {\displaystyle \left(\,0,\,\pm 1,\,\pm (3\varphi -4)\,\right)}
( ± 1 , ± ( 2 − φ ) , ± ( 2 − φ ) ) {\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm (2-\varphi ),\,\pm (2-\varphi )\,\right)}
( ± ( 2 − φ ) , ± 2 ( φ − 1 ) ± ( 2 φ − 3 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (2-\varphi ),\,\pm 2(\varphi -1)\,\pm (2\varphi -3)\right)}

unde φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} este secțiunea de aur.

Raza circumscrisă

Raza circumscrisă în funcție de lungimea laturilor a este:[5]

R = 1 4 34 + 6 5 a ≈ 1 , 876844 a . {\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {34+6{\sqrt {5}}}}\,a\approx 1,876844\,a.}

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a este:

V = 1 4 ( 34 + 6 5 ) a 3 ≈ 1 , 721489   a 3 . {\displaystyle V={\frac {1}{4}}\left(34+6{\sqrt {5}}\right)\,a^{3}\approx 1,721489~a^{3}.}

Poliedre înrudite

Are în comun aranjamentul vârfurilor cu marele dodecaedru trunchiat stelat. În plus, are în comun aranjamentul laturilor cu micul icosicosidodecaedru (având în comun fețele hexagonale) și cu micul dodecicosidodecaedru ditrigonal (având fețele decagonale în comun).


Marele dodecaedru trunchiat stelat
Micul icosicosidodecaedru
Micul dodecicosidodecaedru ditrigonal
Micul dodecicosaedru
Dual: micul dodecicosaedru

Poliedru dual

Dualul său este micul dodecicosaedru.[6]

Note

  1. ^ a b c en Maeder, Roman. „50: small dodecicosahedron”. MathConsult. Accesat în . 
  2. ^ a b en Wenninger, Magnus (). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.  p. 9–10.
  3. ^ en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
  4. ^ en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
  5. ^ en Eric W. Weisstein, Small dodecicosahedron la MathWorld.
  6. ^ en Wenninger, Magnus (), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 

Vezi și

Legături externe

  • en Uniform polyhedra and duals
Portal icon Portal Matematică
  • en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: siddy
  • v
  • d
  • m
Poliedre neconvexe
Poliedre
Kepler–Poinsot
Trunchieri uniforme
ale poliedrelor
Kepler–Poinsot
hemipoliedre
uniforme neconvexe
Duale ale poliedrelor
uniforme neconvexe
  • triacontaedru rombic medial
  • micul dodecaedru stelapentakis
  • hexacontaedru romboidal medial
  • hexacontaedru pentagonal medial
  • triacontaedru disdiakis medial
  • marele triacontaedru rombic
  • marele dodecaedru stelapentakis
  • marele hexacontaedru romboidal
  • marele triacontaedru disdyakis
  • marele hexacontaedru pentagonal