Mulțimea simetricelor
Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Ellipse_symmetry_set.svg/220px-Ellipse_symmetry_set.svg.png)
În geometrie mulțimea simetricelor este o metodă de reprezentare a simetricelor locale față de o curbă și poate fi folosită ca metodă de reprezentare a formei obiectelor prin găsirea scheletului topologic. Axa mediană, o submulțime a mulțimii simetricelor este un set de curbe care se desfășoară aproximativ de-a lungul mijlocului unui obiect.
În 2 dimensiuni
Fie un interval deschis și parametrizarea unei curbe plane netede.
Mulțimea simetricelor lui este definită ca fiind închiderea mulțimii cercurilor tangente la curbă în cel puțin două puncte (cercuri bitangente).
Mulțimea simetricelor va avea puncte de capăt care corespund vârfurilor curbei. Astfel de puncte vor fi situate în punctele de întoarcere ale evolutei. În astfel de puncte curba va avea 4 puncte de contact cu cercul.
În n dimensiuni
Pentru o varietate netedă din dimensiunea m în (este nevoie ca ). Mulțimea simetricelor varietății este închiderea centrelor hipersferelor tangente la varietate în cel puțin două locuri diferite.
Ca bifurcare a mulțimii
Fie un domeniu deschis sumplu conex și . Fie o parametrizare a unei părți netede a varietății. Se poate defini o familie de parametri n de funcții pe curbă, anume
Această familie se numește familia de funcții de distanțe la pătrat. Aceasta deoarece pentru fixă, valoarea este pătratul distanței de la to la
Mulțimea simetricelor este atunci mulțimea de bifurcare a familiei de funcții de distanțe la pătrat. Adică este mulțimea astfel încât are o singularitate repetată pentru unele
Prin singularitate repetată se înțelege că matricea jacobiană este singulară. Deoarece există o familie de funcții, aceasta este echivalentă cu .
Mulțimea simetricelor este atunci mulțimea astfel încât să existe cu , iar
împreună cu punctele limită ale acestei mulțimi.
Bibliografie
- en J. W. Bruce, P. J. Giblin, C. G. Gibson, Symmetry Sets, Proc. of the Royal Soc. of Edinburgh, 101A (1985), 163-186.
- en J. W. Bruce, P. J. Giblin, Curves and Singularities, Cambridge University Press (1993).
![]() | Portal Matematică |