Pavare apeirogonală de ordinul 4
Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici. |
Pavare apeirogonală de ordinul 4 | |
![]() | |
Pe modelul discului Poincaré al planului hiperbolic | |
Descriere | |
---|---|
Tip | pavare uniformă hiperbolică |
Configurația vârfului | ∞4 |
Simbol Wythoff | 4 | ∞ 2 2 | ∞ ∞ ∞ ∞ | ∞ |
Simbol Schläfli | {∞,4} r{∞,∞} t(∞,∞,∞) t0,1,2,3(∞,∞,∞,∞) |
Diagramă Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Grup de simetrie | [∞,4], (*∞42) [∞,∞], (*∞∞2) [(∞,∞,∞)], (*∞∞∞) (*∞∞∞∞) |
Grup de rotație | [∞,4]+, (∞42) [∞,∞]+, (∞∞2) [(∞,∞,∞)]+, (∞∞∞) (∞∞∞∞) |
Poliedru dual | pavare pătrată de ordin infinit |
Proprietăți | tranzitivă pe vârfuri, laturi și fețe |
În geometrie pavarea apeirogonală de ordinul 4 este o pavare regulată a planului hiperbolic. Este reprezentată de simbolul Schläfli {∞,4}, având patru apeirogoane în jurul fiecărui vârf. Fiecare apeirogon este înscris într-un oriciclu.
Simetrie
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a8/H2chess_24ib.png/220px-H2chess_24ib.png)
Pavarea din imaginea din stânga reprezintă liniile de oglindire ale simetriei *2∞. Duala acesteia reprezintă domeniile fundamentale ale simetriei cu notației orbifold *∞∞∞∞, un domeniu pătrat cu patru vârfuri ideale.
Colorări uniforme
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/H2_tiling_24i-4.png/220px-H2_tiling_24i-4.png)
La fel ca la pavările planului euclidian, există 9 colorări uniforme ale pavării apeirogonale de ordinul 4, cu trei colorări uniforme generate de domeniile de reflexie ale grupului triunghiului(d). O a patra poate fi construită dintr-o simetrie pătrată infinită (*∞∞∞∞) cu 4 culori în jurul unui vârf. Colorarea de tip tablă de șah, r{∞,∞}, definește domeniile fundamentale ale simetriei [(∞,4,4)], (*∞44), de obicei prezentate ca domenii alb-negru ale orientărilor reflectate.
culoarea 1 | culoarea 2 | culorile 3 și 2 | culorile 4, 3 și 2 | |||
---|---|---|---|---|---|---|
[∞,4], (*∞42) | [∞,∞], (*∞∞2) | [(∞,∞,∞)], (*∞∞∞) | (*∞∞∞∞) | |||
{∞,4} | r{∞,∞} = {∞,4}1⁄2 | t0,2(∞,∞,∞) = r{∞,∞}1⁄2 | t0,1,2,3(∞,∞,∞,∞) = r{∞,∞}1⁄4 = {∞,4}1⁄8 | |||
![]() (1111) | ![]() (1212) | ![]() (1213) | ![]() (1112) | ![]() (1234) | ![]() (1123) | ![]() (1122) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Poliedre și pavări înrudite
Această pavare este legată topologic ca parte a secvenței de poliedre regulate și pavări cu patru fețe pe vârf, pornind de la octaedru, cu simbolul Schläfli {n,4} și diagrama Coxeter , cu n mergând până la infinit.
Variante de pavări regulate cu simetria *n42: {n,4} | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Sferice | Euclidiană | Pavări hiperbolice | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
24 | 34 | 44 | 54 | 64 | 74 | 84 | ...∞4 |
Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,4] | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
{∞,4} | t{∞,4} | r{∞,4} | 2t{∞,4}=t{4,∞} | 2r{∞,4}={4,∞} | rr{∞,4} | tr{∞,4} | ||||
Figuri duale | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
V∞4 | V4.∞.∞ | V(4.∞)2 | V8.8.∞ | V4∞ | V43.∞ | V4.8.∞ | ||||
Alternări | ||||||||||
[1+,∞,4] (*44∞) | [∞+,4] (∞*2) | [∞,1+,4] (*2∞2∞) | [∞,4+] (4*∞) | [∞,4,1+] (*∞∞2) | [(∞,4,2+)] (2*2∞) | [∞,4]+ (∞42) | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
h{∞,4} | s{∞,4} | hr{∞,4} | s{4,∞} | h{4,∞} | hrr{∞,4} | s{∞,4} | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||
Duale alternate | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | |||||||||
V(∞.4)4 | V3.(3.∞)2 | V(4.∞.4)2 | V3.∞.(3.4)2 | V∞∞ | V∞.44 | V3.3.4.3.∞ |
Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,∞] | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
{∞,∞} | t{∞,∞} | r{∞,∞} | 2t{∞,∞}=t{∞,∞} | 2r{∞,∞}={∞,∞} | rr{∞,∞} | tr{∞,∞} | ||||
Pavări duale | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
V∞∞ | V∞.∞.∞ | V(∞.∞)2 | V∞.∞.∞ | V∞∞ | V4.∞.4.∞ | V4.4.∞ | ||||
Alternări | ||||||||||
[1+,∞,∞] (*∞∞2) | [∞+,∞] (∞*∞) | [∞,1+,∞] (*∞∞∞∞) | [∞,∞+] (∞*∞) | [∞,∞,1+] (*∞∞2) | [(∞,∞,2+)] (2*∞∞) | [∞,∞]+ (2∞∞) | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
h{∞,∞} | s{∞,∞} | hr{∞,∞} | s{∞,∞} | h2{∞,∞} | hrr{∞,∞} | sr{∞,∞} | ||||
Duale alternate | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||
V(∞.∞)∞ | V(3.∞)3 | V(∞.4)4 | V(3.∞)3 | V∞∞ | V(4.∞.4)2 | V3.3.∞.3.∞ |
Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,∞,∞] | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
(∞,∞,∞) h{∞,∞} | r(∞,∞,∞) h2{∞,∞} | (∞,∞,∞) h{∞,∞} | r(∞,∞,∞) h2{∞,∞} | (∞,∞,∞) h{∞,∞} | r(∞,∞,∞) r{∞,∞} | t(∞,∞,∞) t{∞,∞} | ||||
Pavări duale | ||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
V∞∞ | V∞.∞.∞.∞ | V∞∞ | V∞.∞.∞.∞ | V∞∞ | V∞.∞.∞.∞ | V∞.∞.∞ | ||||
Alternări | ||||||||||
[(1+,∞,∞,∞)] (*∞∞∞∞) | [∞+,∞,∞)] (∞*∞) | [∞,1+,∞,∞)] (*∞∞∞∞) | [∞,∞+,∞)] (∞*∞) | [(∞,∞,∞,1+)] (*∞∞∞∞) | [(∞,∞,∞+)] (∞*∞) | [∞,∞,∞)]+ (∞∞∞) | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
Duale alternate | ||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
V(∞.∞)∞ | V(∞.4)4 | V(∞.∞)∞ | V(∞.4)4 | V(∞.∞)∞ | V(∞.4)4 | V3.∞.3.∞.3.∞ |
Bibliografie
- en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
- en „Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space”. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. . ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
Vezi și
Legături externe
Materiale media legate de pavare apeirogonală de ordinul 4 la Wikimedia Commons
- en Eric W. Weisstein, Hyperbolic tiling la MathWorld.
- en Eric W. Weisstein, Poincaré hyperbolic disk la MathWorld.
- en Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery Arhivat în , la Wayback Machine.
- en KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings
- en Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch
![]() | Portal Matematică |