Planul proiectiv complex
În matematică planul proiectiv complex,[1] de obicei notat cu P2(C), este un spațiu proiectiv complex(d) bidimensional. Este o varietate complexă de dimensiune complexă 2, descrisă de trei coordonate complexe
unde, totuși, tripletele care diferă printr-o rescalare globală sunt identice:
Adică acestea sunt coordonate omogene în sensul tradițional al geometriei proiective.
Topologie
Numerele Betti(d) ale planului proiectiv complex sunt
- 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....
Dimensiunea mijlocie 2 este explicată de clasa de omologie a dreptei proiective complexe (v. sfera Riemann), situată în plan. Grupurile de omotopie(d) netriviale ale planului proiectiv complex sunt . Grupul fundamental este trivial și toate celelalte grupuri omotope din dimensiuni superioare sunt cele din 5-sfere, adică torsiune.
Geometrie algebrică
În geometria birațională(d) o suprafață rațională complexă este orice suprafață algebrică echivalentă birațional cu planul proiectiv complex. Se știe că orice varietate rațională nesingulară este obținută din plan printr-o succesiune de transformări care trebuie să fie de un tip foarte particular. Ca un caz particular, o cuadrică complexă nesingulară în P3 este obținută din plan prin deplasarea a două puncte pe curbe în spațiu și apoi revenirea în plan a dreptei care trece prin aceste două puncte; inversa acestei transformări poate fi văzută luând un punct P pe cuadrica Q, deplasându-l și proiectând pe un plan general în P3 prin trasarea dreptelor prin P.
Grupul de automorfisme biraționale ale planului proiectiv complex este grupul Cremona.
Geometrie diferențială
Ca o varietate riemanniană(d), planul proiectiv complex este o varietate 4-dimensională a cărei curbură secțională este înclinată pe sfert, dar nu în mod strict. Adică atinge ambele margini și astfel evită să fie o sferă, așa cum altfel ar cere teorema sferei. Normalizările rivale sunt pentru curbura între 1/4 și 1; alternativ, între 1 și 4. În ceea ce privește prima normalizare, suprafața încorporată definită de dreapta proiectivă complexă are curbura gaussiană(d) 1. În ceea ce privește cealaltă normalizare, planul proiectiv real încorporat are curbura gaussiană 1.
Note
- ^ Marian Aprodu, Introducere în Geometria Varietăților Torice, imar.ro, SNSB 2005–2006, p. 6, accesat 2023-05-26
Bibliografie
- en C. E. Springer (1964) Geometry and Analysis of Projective Spaces, pages 140–3, W. H. Freeman and Company.
Vezi și
- Metrica Fubini–Study(d)
![]() | Portal Matematică |