Polinoamele lui Laguerre

În matematică, polinoamele Laguerre, numite astfel în cinstea lui Edmond Laguerre (1834 - 1886), sunt soluțiile canonice ale ecuației Laguerre:

${\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,}$

care este o ecuație diferențială liniară de ordinul al doilea. Această ecuație diferențială are soluții nesingulare numai dacă n este un întreg nenegativ.

Aceste polinoame, notate de regulă cu ${\displaystyle L_{0},L_{1},\dots }$, formează un șir polinomial ce poate fi definit prin formula Rodrigues

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right).}$

Ele sunt ortogonale unul pe celălalt în raport cu produsul scalar dat de

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}$

Șirul polinoamelor Laguerre este un șir Sheffer.

Polinoamele Laguerre apar în mecanica cuantică, în partea radială a soluției ecuației Schrödinger pentru atomul cu un electron.

Fizicienii folosesc adesea o definiție a polinoamelor Laguerre mai mare cu un factor de ${\displaystyle (n!)}$, decât definiția folosită aici.

Acestea sunt primele polinoame Laguerre:

Aceste polinoame pot fi exprimate sub formă de integrală pe contur

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}}}\;dt}$

unde conturul este unul închis, ce ocolește originea în sens trigonometric.

Polinoamele Laguerre se pot defini recursiv, exprimând primele două polinoame ca

${\displaystyle L_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle L_{1}(x)=1-x\,}$

și apoi folosind relația de recurență pentru orice ${\displaystyle k\geq 1}$:

${\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}{\bigg (}(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x){\bigg )}}$

Proprietatea de ortogonalitate enunțată mai sus este echivalentă cu a spune dă dacă X este o variabilă aleatoare cu distribuție exponențială cu funcția de densitate de probabilitate

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{-x}&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}$

atunci

${\displaystyle E(L_{n}(X)L_{m}(X))=0\ {\mbox{dc.}}\ n\neq m.}$

Distribuția exponențială nu este singura distribuție gamma. Un șir de polinoame ortogonale în raport cu distribuția gamma a căror funcție de densitate de probabilitate este, pentru ${\displaystyle \alpha >-1}$,

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }e^{-x}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}$

este dat de rafinarea ecuației Rodrigues pentru polinoamele Laguerre generalizate:

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right).}$

Acestea sunt uneori numite polinoame asociate Laguerre. Polinoamele Laguerre simple sunt recuperate din cele generalizate punând ${\displaystyle \alpha =0}$:

${\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}$

Polinoamele asociate Laguerre sunt ortogonale peste ${\displaystyle [0,\infty )}$ în raport cu funcția pondere ${\displaystyle x^{\alpha }e^{-x}}$:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{nm}.}$

Următoarea integrală este necesară pentru tratarea atomului de hidrogen în mecanica cuantică,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha +1}\left[L_{n}^{(\alpha )}\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}$

Polinoamele asociate Laguerre se supun următoarei ecuații diferențiale:

${\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0.\,}$

Ele respectă următoarea relație de recurență pentru ${\displaystyle n\geq 1}$:

${\displaystyle L_{n+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{n+1}}{\bigg (}(2n+1+\alpha -x)L_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x){\bigg )}.}$

Două alte relații de recurență utile sunt

${\displaystyle L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=L_{n+1}^{(\alpha -1)}(x)+L_{n}^{(\alpha )}(x),}$

${\displaystyle L_{n+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{n+1}}{\bigg (}(n+1+\alpha )L_{n}^{(\alpha )}(x)-xL_{n}^{(\alpha +1)}(x){\bigg )}.}$

Polinomul Laguerre generalizat de gradul ${\displaystyle n}$ este (rezultat din aplicarea teoremei lui Leibnitz pentru derivarea produsului asupra formulei Rodrigues)

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{m=0}^{n}{n+\alpha \choose n-m}{\frac {(-x)^{m}}{m!}}}$

de unde se observă că coeficientul termenului dominant este ${\displaystyle (-1)^{n}/n!}$ iar termenul liber (care este și valoarea în origine) este ${\displaystyle {n+\alpha \choose n}.}$

Primele polinoame Laguerre generalizate sunt:

${\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1}$

${\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1}$

${\displaystyle L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}}$

${\displaystyle L_{3}^{(\alpha )}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}}$

Derivarea de ${\displaystyle k}$ ori a reprezentării ca serie de puteri a polinomului Laguerre generalizat conduce la

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)\,.}$

Polinoamele Laguerre generalizate sunt legate de polinoamele Hermite:

${\displaystyle H_{2n}(x)=(-1)^{n}\ 2^{2n}\ n!\ L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})}$

și

${\displaystyle H_{2n+1}(x)=(-1)^{n}\ 2^{2n+1}\ n!\ x\ L_{n}^{(1/2)}(x^{2})}$

unde ${\displaystyle H_{n}(x)}$ sunt polinoamele Hermite bazate pe funcția pondere ${\displaystyle \exp {(-x^{2})}}$, așa-numita "versiunea fizicienilor".

Din acest motiv, polinoamele Laguerre generalizate apar în tratamentul oscilatorului cuantic armonic.

Polinoamele Laguerre pot fi definite în termeni de funcții hipergeometrice, anume de funcții hipergeometrice confluente, ca

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)}$

unde ${\displaystyle (a)_{n}}$ este simbolul Pochhammer (care în acest caz reprezintă factorialul crescător).

• Un calcul rapid al polinomului Laguerre în contextul mecanicii cuantice a hidrogenului Arhivat în 19 iunie 2010, la Wayback Machine.

• Eric W. Weisstein, „Laguerre Polynomial”, de la MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• George Arfken și Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.