Progresie armonică
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/First_members_of_harmonic_sequence.svg/220px-First_members_of_harmonic_sequence.svg.png)
În matematică o progresie armonică[a] este un șir ai cărui termeni sunt inversele termenilor unei progresii aritmetice.
Echivalent, un șir este o progresie armonică când fiecare termen (cu excepția capetelor) este media armonică a termenilor vecini. De aici vine și denumirea progresiei.
O a treia caracterizare echivalentă este o secvență infinită a formei
unde a este nenul iar −a/d nu este un număr natural sau un șir finit de forma
unde a este nenul, k este un număr natural iar −a/d nu este un număr natural sau este mai mare decât k.
Exemple
- 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, uneori numit șirul armonic
- 12, 6, 4, 3, , 2, … , , …
- 30, −30, −10, −6, − , … ,
- 10, 30, −30, −10, −6, − , … ,
Suma progresiilor armonice
Suma progresiilor armonice infinite tinde la infinit.
Nu este posibil ca suma unei progresii armonice de fracții cu numărătorul 1 (altul decât cazul banal în care a = 1 și k = 0) să fie un număr întreg. Motivul este că, în mod necesar, cel puțin un numitor al progresiei va fi divizibil cu un număr prim care nu divide niciun alt numitor.[1]
Utilizarea în geometrie
Dacă punctele coliniare A, B, C și D sunt astfel încât D este conjugatul armonic al lui C față de A și B, atunci distanțele de la oricare dintre aceste puncte la cele trei puncte rămase formează o progresie armonică.[2][3] În particular, oricare din șirurile AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB și DA, DC, DB sunt progresii armonice, unde fiecare dintre distanțe este definită de orientarea fixă a liniei (nu neapărat dreaptă, distanțele măsurându-se pe linie).
Într-un triunghi, dacă înălțimile sunt în progresie aritmetică, atunci laturile sunt în progresie armonică.
Note explicative
- ^ Expresiile șir armonic și secvență armonică nu sunt uzuale în terminologia matematică românească, ele se întâlnesc exclusiv în domeniul muzical.
Note
- ^ hu Erdős, P. (), „Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása” [Generalization of an elementary number-theoretic theorem of Kürschák] (PDF), Mat. Fiz. Lapok (în Hungarian), 39: 17–24 Mentenanță CS1: Limbă nerecunoscută (link) . Citat de Graham, Ronald L. (), „Paul Erdős and Egyptian fractions”, Erdős centennial, Bolyai Soc. Math. Stud., 25, János Bolyai Math. Soc., Budapest, pp. 289–309, CiteSeerX 10.1.1.300.91
, doi:10.1007/978-3-642-39286-3_9, ISBN 978-3-642-39285-6, MR 3203600
- ^ en Richard Townsend (1865), Chapters on the modern geometry of the point, line, and circle, Vol. II, p. 24
- ^ en John Alexander Third (1898), Modern geometry of the point, straight line, and circle: an elementary treatise p. 44
Bibliografie
- en Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst (2007), Mastering Technical Mathematics, p. 221
- en Chemical Rubber Company (1974), Standard mathematical tables, p. 102
- en Webster Wells (1897), Essentials of algebra for secondary schools, p. 307
Vezi și
![]() | Portal Matematică |