Punct izolat

În matematică, un punct x este denumit punct izolat al unei submulțimi S (într-un spațiu topologic X) dacă x este un element al lui S și există o vecinătate al lui x care nu conține alte puncte din S. Acest lucru este echivalent cu a spune că singletonul x este o mulțime deschisă în spațiul topologic S (considerat ca un subspațiu al X). O altă formulare echivalentă este: un element x din S este un punct izolat al S dacă și numai dacă nu este un punct de acumulare al lui S.^[1]

Dacă spațiul X este un spațiu euclidian (sau oricare alt spațiu metric), atunci un element x din S este un punct izolat al S dacă există o bilă în jurul lui x care conține doar un număr finit de elemente dinS.

O mulțime care este alcătuită numai din puncte izolate se numește mulțime discretă (vezi și spațiu discret^⁠(d)). Orice submulțime discretă S a spațiului euclidian trebuie să fie numărabilă, deoarece izolarea fiecăruia dintre punctele sale împreună cu faptul că numerele raționale sunt dense între numerele reale înseamnă că punctele lui S pot fi puse în corespondență cu o mulțime de puncte cu coordonate raționale. Totuși, nu orice mulțime numărabilă este discretă, dintre care numerele raționale din metrica euclidiană obișnuită sunt exemplul canonic.

O mulțime închisă fără puncte izolate se numește mulțime perfectă^[1] (conține toate punctele sale de acumulare și niciun punct izolat).

Numărul de puncte izolate este un invariant topologic, adică dacă două spații topologice X și Y sunt homeomorfe^⁠(d), au același număr de puncte izolate.

Spațiile topologice din următoarele trei exemple sunt considerate subspații ale dreptei reale cu topologia standard.

• Pentru mulțimea ${\displaystyle S=\{0\}\cup [1,2]}$, punctul 0 este un punct izolat (exemplul din imagine).
• Pentru mulțimea ${\displaystyle S=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\dots \}}$, fiecare dintre punctele 1/k este un punct izolat, dar 0 nu este un punct izolat deoarece există alte puncte în S oricât de aproape de 0 se dorește.
• Mulțimea ${\displaystyle {\mathbb {N} }=\{0,1,2,\ldots \}}$ de numere naturale este o mulțime discretă.

În spațiul topologic ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ cu topologia ${\displaystyle \tau =\{\emptyset ,\{a\},X\}}$, elementul ${\displaystyle a}$ este un punct izolat, chiar dacă ${\displaystyle b}$ aparține închiderii lui ${\displaystyle \{a\}}$ (prin urmare este, într-un anumit sens, „apropiat” de ${\displaystyle a}$). O astfel de situație nu este posibilă într-un spațiu Hausdorff.

Lema Morse afirmă că punctele critice nedegenerate ale anumitor funcții sunt izolate.

Fie mulțimea ${\displaystyle F}$ de puncte ${\displaystyle x}$ din intervalul real ${\displaystyle (0,1)}$ astfel încât fiecare cifră ${\displaystyle x_{i}}$ din reprezentarea lor binară îndeplinește următoarele condiții:

• Este fie ${\displaystyle x_{i}=0}$, fie ${\displaystyle x_{i}=1}$.
• ${\displaystyle x_{i}=1}$ există doar pentru un număr finit de indici ${\displaystyle i}$.
• Dacă se notează cu ${\displaystyle m}$ cel mai mare indice astfel încât ${\displaystyle x_{m}=1}$, atunci ${\displaystyle x_{m-1}=0}$.
• Dacă ${\displaystyle x_{i}=1}$ și ${\displaystyle i<m}$, atunci este valabilă exact una dintre următoarele două condiții: ${\displaystyle x_{i-1}=1}$ sau ${\displaystyle x_{i+1}=1}$.

Informal, aceste condiții înseamnă că fiecare cifră a reprezentării binare a lui ${\displaystyle x}$ care este egală cu 1 aparține unei perechi ...0110..., cu excepția ...010... de la sfârșit.

Acum, ${\displaystyle F}$ este o mulțime explicită constând în întregime din puncte izolate care are proprietatea neintuitivă că închiderea este o mulțime nenumărabilă.^[2]

Altă mulțime ${\displaystyle F}$ cu aceleași proprietăți poate fi obținută după cum urmează. Fie ${\displaystyle C}$ treimea de mijloc a mulțimii Cantor, fie ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\ldots }$ intervalele componente ale ${\displaystyle [0,1]-C}$ și fie ${\displaystyle F}$ o mulțime formată dintr-un punct din fiecare ${\displaystyle I_{k}}$. Deoarece fiecare ${\displaystyle I_{k}}$ conține doar câte un punct din ${\displaystyle F}$, fiecare punct din ${\displaystyle F}$ este un punct izolat. Totuși, dacă ${\displaystyle p}$ este orice punct din mulțimea Cantor, atunci fiecare vecinătate a lui ${\displaystyle p}$ conține cel puțin un ${\displaystyle I_{k}}$ și, prin urmare, cel puțin un punct de ${\displaystyle F}$. Rezultă că fiecare punct al mulțimii Cantor se află în închiderea lui ${\displaystyle F}$, prin urmare ${\displaystyle F}$ are o închidere nenumărabilă.

Portal matematică

• en Eric W. Weisstein, Isolated Point la MathWorld.