Regula lui Born

Regula lui Born (numită și legea Born, regula Born sau legea lui Born), formulată de fizicianul german Max Born în 1926, este o lege fizică^{[necesită citare]} a mecanicii cuantice care spune probabilitatea cu care o măsurare în cadrul unui sistem cuantic o să dea un rezultat dat.^[1] În cea mai simplă formă a sa, ea precizează că densitatea probabilității de a găsi o particulă într-un anumit punct este proporțională cu pătratul normei funcției de undă a particulei în acel punct. Regula lui Born este unul dintre principiile cheie ale mecanicii cuantice.

Regula lui Born afirmă că dacă un observabil corespunzător unui operator auto-adjunct ${\displaystyle A}$ cu un spectru discret se măsoară într-un sistem cu o funcție de undă normalizată ${\displaystyle |\psi \rangle }$ (a se vedea notația Bra-ket), atunci

• rezultatul măsurat va fi una dintre valorile proprii ${\displaystyle \lambda }$ a lui ${\displaystyle A}$ , și
• probabilitatea măsurării unei valori proprii date ${\displaystyle \lambda _{i}}$ va fi egală cu ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$ , unde ${\displaystyle P_{i}}$ este proiecția pe spațiul propriu al lui ${\displaystyle A}$ corespunzător lui ${\displaystyle \lambda _{i}}$ .

(În cazul în care spațiul propriu al lui ${\displaystyle A}$ corespunzător lui ${\displaystyle \lambda _{i}}$ este unidimensional și este cuprins de vectorul propriu normalizat ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$ , ${\displaystyle P_{i}}$ este egal cu ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|}$ , deci probabilitatea ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$ este egală cu ${\displaystyle \langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ . Deoarece numărul complex ${\displaystyle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ este cunoscut ca amplitudinea de probabilitate pe care vectorul de stare ${\displaystyle |\psi \rangle }$ i-o atribuie vectorului propriu ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$ , este comun să se descrie regula Born ca spunându-ne că probabilitatea este egală cu amplitudinea la pătrat (de fapt amplitudinea înmulțită cu propria ei conjugată complexă). În mod echivalent, probabilitatea poate fi scrisă ca ${\displaystyle |\langle \lambda _{i}|\psi \rangle |^{2}}$ ).

În cazul în care spectrul ${\displaystyle A}$ nu este complet discret, teorema spectrală dovedește existența unei anumite măsuri spectrale ${\displaystyle Q}$ a lui ${\displaystyle A}$ . În acest caz,

• probabilitatea ca rezultatul măsurării să se situeze într-un set măsurabil ${\displaystyle M}$ va fi dată de ${\displaystyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle }$ .

Având o funcție de undă ${\displaystyle \psi }$ pentru o singură particulă fără structură în spațiul de poziție, aceasta se reduce la a spune că funcția densității de probabilitate ${\displaystyle p(x,y,z)}$ pentru o măsurare a poziției la momentul ${\displaystyle t_{0}}$ va fi dată de

${\displaystyle p(x,y,z)=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}}$