Serie de puteri
În matematică, o serie de puteri (de o singură variabilă) este o sumă infinită de forma:
unde an reprezintă coeficienții celui de-al n-lea termen , c este o constantă, iar x variază in jurul lui c (din acest motiv se mai spune că seria este "centrată" în jurul lui c). Această serie provine din serie Taylor a unei funcții.
În multe situații c este nul, de exemplu în cazul seriei Maclaurin. În astfel de cazuri, seria de puteri are o formă mai simplă:
Astfel de serii sunt utilizate în analiza matematică, în combinatorică, dar și în electrotehnică (transformata Z). De asemenea, scrierea zecimală poate fi considerată o aplicație a seriilor de puteri cu coeficienți întregi și având ca argument x de valoarea 1/10. În teoria numerelor, seriile de puteri se aplică la studiul numerelor p-adice.
Proprietățile seriilor de puteri
Seriile de puteri au o deosebită importanță în cercetările teoretice și în științele aplicate. Câteva din proprietățile lor vor fi prezentate în continuare.
- Convergența uniformă a seriilor de puteri în intervalul de convergență .
- Teoremă. Fie o serie de puteri convergentă pe intervalul . Pentru orice număr , astfel încât , seria este uniform convergentă pe intervalul .
- Demonstrație.
- Deoarece și , rezultă, conform teoremei lui Abel, că seria este absolut convergentă, deci pentru seria este absolut covergentă.
- Dar și conform criteriului de convergență uniformă a seriilor de funcții rezultă că seria de puteri este uiform convergentă.
- Această teoremă are două consecințe:
- Consecința 1. Suma a unei serii de puteri este o funcție continuă pe intervalul de convergență.
- Demonstrație.
- Pe orice interval seria de puteri este uniform convergentă și toți termenii seriei sunt funcții continue, rezultă că suma serie este o funcție continuă pe .
- Consecința 2. Suma a unei serii de puteri este uniform continuă pe orice interval compact conținut în intervalul de convergență.
- Demonstrație.
- Pe orice interval suma este continuă, deci fiind continuă pe un interval compact rezultă că este uniform continuă pe intervalul compact .
- Derivarea seriilor de puteri în intervalul de convergență.
- Teoremă. Fie o serie de puteri convergentă pe intervalul . Seria , formată cu derivatele termenilor seriei date, are același interval de convergență ca și seria dată.
- Demonstrație.
Dacă notăm cu raza de convergență a serie , avem
Această teoremă are mai multe consecințe:
- Consecința 1. Suma serie formată cu derivatele termenilor seriei de puteri este derivata sumei seriei de puteri, în intervalul de convergență. Dacă notăm
- și ,
atunci
- pentru orice .
- Demonstrație.
Seria derivatelor având aceeași rază de convergență ca și seria inițială, rezultă că seria derivatelor este uniform convergentă în intervalul de convergență a seriei inițiale. Deci, derivata sumei este egală cu suma seriei derivatelor termenilor, .
- Consecința 2. Suma serie formată cu derivatele termenilor unei serii de puteri este o funcție continuă și derivabilă pe intervalul de convergență.
- Consecința 3. Dacă este o serie de puteri cu raza de convergență :
- seria formată cu derivatele de ordinul ale termenilor seriei are aceeași rază de convergență ;
- suma a seriei este indefinit derivabilă pe intervalul de convergență și derivata de ordinul , este egală cu suma seriei derivatelor de ordinul pentru orice .
Operații cu serii de puteri
- Fie și două serii de puteri cu raze de convergență , respectiv .
- Suma celor două serii de puteri este tot o serie de puteri, , care are ca rază de convergență .
- Într-adevăr, pentru orice , astfel încât , seriile numerice și sunt convergente, rezultă că și seria sumă este convergentă.
- Dacă și sunt sumele celor două serii și este suma seriei , avem petru orice .
- Diferența celor două serii de puteri este tot o serie de puteri, , care are ca rază de convergență .
- Dacă este suma seriei , atunci
- petru orice .
- Produsul celor două serii de puteri este tot o serie de puteri,
care are ca rază de convergență .
- Dacă este suma seriei produs, atunci
- petru orice .
- Câtul celor două serii de puteri cu sumele , , este o serie de puteri cu suma ,
cu coeficienți definiți de egalitatea .
- Coeficienții se determină dintr-un sistem de ecuații liniare infinit.
Serii de puteri remarcabile
Nr. crt. | Domeniu maxim de definiție | Dezvoltarea în serie de puteri ale lui pentru funcția | Raza de convergență a seriei | Mulțimea de convergență a seriei | Mulțimea de divergență a seriei | |
---|---|---|---|---|---|---|
1. | ||||||
2. | ||||||
3. | , | |||||
4. | ||||||
5. | ||||||
6. | ||||||
7. | ||||||
8. | ||||||
9. | , | |||||
10. | , | |||||
11. | , | |||||
12. | , | |||||
13. | , | |||||
14. | , | |||||
15. | , | |||||
16. | , | |||||
17. | , | |||||
18. | , | |||||
19. | , | |||||
20. | , | |||||
21. | ||||||
22. | ||||||
23. | ||||||
24. |
Bibliografie
![]() | Portal Matematică |
- Marcel Roșculeț, Analiză matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1984