Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. |
În matematică, prin spațiu metric se înțelege orice mulțime X pe care este definită o funcție
ce satisface proprietățile:
dacă și numai dacă
(d este pozitiv definită)
(d este simetrică)
(inegalitatea triunghiului)
Orice funcție d cu proprietățile de mai sus se numește funcție distanță sau metrică.
Exemple importante
- mulțimile numerelor naturale, întregi, raționale, reale, complexe, împreună cu funcția distanță definită ca
![{\displaystyle d(x,y)=|x-y|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994ad8add8719c1d111342afeb970648ffff41f2)
- orice spațiu vectorial normat, cu distanța indusă de normă:
- în particular, spațiul
cu distanța euclidiană
,
unde
.
Bile
Prin bila deschisă de centru
și de rază
, notată
, se înțelege mulțimea punctelor a căror distanță până la x este strict mai mică decât r:
. Bila închisă de centru x și rază r, notată
sau, uneori,
, este
.
De notat că, în raport cu topologia indusă de metrică (vezi secțiunea următoare), orice bilă deschisă este o mulțime deschisă și orice bilă închisă este o mulțime închisă. În orice spațiu metric are loc
, unde
desemnează închiderea topologică a mulțimii M. În spațiile normate finit-dimensionale, de exemplu în
,
,
și
, are loc egalitatea
.
Topologia indusă de metrică
Orice metrică induce o topologie pe mulțimea de puncte. Astfel, orice spațiu metric este și spațiu topologic. Topologia indusă de metrică este definită astfel (oricare din cele două variante sunt echivalente):
- O submulțime
a spațiului este deschisă dacă pentru orice punct al ei există o bilă centrată în acel punct și de rază nenulă inclusă în A (
) - O submulțime
este vecinătate a punctului
dacă V include cel puțin o bilă de rază nenulă centrată în x:![{\displaystyle \exists r>0\,:\ B(x,r)\subseteq V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5726eb8ba9d5fa839260dd4afcd8ab5b533c55)
Echivalența metricilor
Pe o aceeași mulțime se pot defini mai multe funcții distanță, rezultând structuri de spațiu metric distincte pe aceeași mulțime de bază. Două funcții distanță,
și
definite pe aceeași mulțime
se numesc:
- echivalente topologic dacă induc aceeași topologie pe
, adică dacă orice vecinătate în raport cu
este vecinătate și în raport cu ![{\displaystyle d_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9276f8f68c5c23329de74ad76e69f6801358fb1f)
- echivalente Lipschitz dacă există două constante reale pozitive
astfel încât ![{\displaystyle \forall x,y\in X\,,\ a\cdot d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq b\cdot d_{1}(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee1a2fc885b2f144bb2dc3c49948fc6af1aa2a8)
Două metrici Lipschitz-echivalente sunt întotdeauna echivalente topologic; reciproca nu este însă adevărată totdeauna.
Spații metrice complete
Un spațiu metric se numește complet dacă orice șir Cauchy este convergent.
De exemplu, mulțimea numerelor raționale nu este spațiu metric complet deoarece șirul
este fundamental fără a fi convergent (același șir, în mulțimea numerelor reale este convergent și are ca limită numărul e. În schimb, mulțimea numerelor reale este spațiu metric complet.
Alte exemple
1. Fie
un grup comutativ și
o funcție ce satisface proprietățile:
![{\displaystyle p(x)=0\;\Leftrightarrow \;x=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12dd43b606b9604245913400ba339e27c0611601)
![{\displaystyle p(-x)=p(x),\;\forall x\in G;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa473f458df2ca12b3f7a7645715646070d4f7b)
![{\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y),\;\forall x,y\in G.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e45fdb7f4d838af77a44462af351e5d68f1fd3)
Atunci aplicația
este o metrică pe G.
2. Următoarele aplicații sunt distanțe pe
![{\displaystyle d:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} _{+},\;d(m,n)=|m-n|,\;\forall m,n\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba9cc9ed290c9d7558a237ad6192d7572e4f356)
![{\displaystyle d:\mathbb {N} ^{*}\times \mathbb {N} ^{*}\rightarrow \mathbb {R} _{+},\;d(m,n)=\left|{\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}\right|,\;\forall m,n\in \mathbb {N} ^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60462b5af6f08c971ab5c32ab6ad2aa4f0680f24)
![{\displaystyle d:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} _{+},\;d(m,n)=\left|{\frac {m}{1+m}}-{\frac {n}{1+n}}\right|,\;\forall m,n\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f73d42c4dbf1de3c20e5eff988cc8223b80eea23)
| Portal Matematică |
|
---|
Domenii | | |
---|
Concepte de bază | |
---|
Glosar/Liste | |
---|