Transformare echiareală
Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici. |
În geometria diferențială o transformare echiareală este o transformare netedă(d) dintr-o suprafață la alta, transformare care conservă ariile figurilor.
Proprietăți
Dacă M și N sunt două suprafețe în spațiul euclidian R3, atunci o transformare echiareală f poate fi caracterizată prin oricare dintre următoarele condiții echivalente:
- Aria suprafeței f(U) este egală cu aria U pentru fiecare mulțime deschisă U din M.
- În fiecare punct p din M și vectorii tangenți v și w la p din M,
- unde × indică produsul vectorial euclidian al vectorilor iar df este aproximarea funcției f în planul tangent local.
Exemple
Un exemplu de transformare echiareală, datorată lui Arhimede, este proiecția din sfera unitate x2 + y2 + z2 = 1 pe cilindrul unitate x2 + y2 = 1 față de axa lor comună. O formulă explicită este
pentru (x, y, z) un punct de pe sfera unitate.
Transformări liniare
Orice izometrie euclidiană a planului euclidian este echiareală, dar invers nu este adevărat. Contraexemple la afirmația inversă sunt transformarea de forfecare(d) sau rotație hiperbolică(d).
Forfecarea transformă un dreptunghi într-un paralelogram cu aceeași arie. Scrisă sub formă de matrice, o transformare de forfecare de-a lungul axei x este
Rotația hiperbolică prelungește și contractă laturile unui dreptunghi într-o astfel de manieră încât aria să se conserve. Scris sub formă de matrice, cu λ > 1 rotația hiperbolică este
O transformare liniară înmulțește aria cu valoarea absolută a determinantului său, |ad – bc|.
Eliminarea gaussiană(d) arată că orice transformare liniară echiareală (inclusiv rotațiile) poate fi obținută prin compunerea a cel mult două forfecări de-a lungul axelor, o rotație hiperbolică și (dacă determinantul este negativ), o reflexie.
În proiecțiile cartografice
În contextul hărților, o proiecție cartografică echiareală se numește echivalentă dacă ariile sunt conservate până la un factor constant. La încorporarea hărții avută în vedere, în mod evident în R3, dar de obicei considerată un subset al lui R2, cerința de mai sus este relaxată la:
pentru unele κ > 0 care nu depind de și .
Bibliografie
- en Pressley, Andrew (), Elementary differential geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, London: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-152-8, MR 1800436
![]() | Portal Matematică |