Triunghiul lui Bernoulli
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Bernoulli_triangle_derivation.svg/330px-Bernoulli_triangle_derivation.svg.png)
În matematică triunghiul lui Bernoulli este un tablou triunghiular ale cărui elemente sunt sumele parțiale ale coeficienților binomiali. Pentru orice întreg nenegativ n și pentru orice întreg k între 0 și n, componenta din rândul n și coloana k este dată de:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Pascal_triangle_compositions.svg/220px-Pascal_triangle_compositions.svg.png)
adică suma primilor k coeficienți binomiali de ordinul n.[1] Primele rânduri ale triunghiului lui Bernoulli sunt:
Similar cu triunghiul lui Pascal, fiecare componentă a triunghiului lui Bernoulli este suma a două componente din rândul precedent, cu excepția ultimului număr din fiecare rând, care este dublul ultimului număr din rândul precedent. De exemplu, dacă se notează componenta din rândul n și coloana k, atunci:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Bernoulli_triangle_columns.svg/330px-Bernoulli_triangle_columns.svg.png)
Ca și în triunghiul lui Pascal și în alte triunghiuri construite similar,[2] sumele componentelor de-a lungul diagonalelor din triunghiul lui Bernoulli sunt numere Fibonacci.[3]
Deoarece a treia coloană a triunghiului lui Bernoulli (k = 2) este un număr triunghiular plus unu, el formează șirul tăietorului leneș pentru n tăieturi, unde n ≥ 2.[4] A patra coloană (k = 3) este analogul tridimensional, cunoscut ca numere de tort, pentru n tăieturi, unde n ≥ 3.[5]
A cincea coloană (k = 4) dă numărul maxim de regiuni în problema divizării unui disc în regiuni pentru n+1 puncte, unde n ≥ 4.[6]
În general, a (k+1)-a coloană dă numărul maxim de regiuni din spațiul k-dimensional format din n−1 hiperplane (k−1)-dimensionale, pentru n ≥ k.[7] De asemenea, dă numărul de compoziții (partiții ordonate) ale lui n+1 în k+1 sau mai puține părți.[8]
Note
- ^ en On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- ^ en Hoggatt, Jr, V. E., A new angle on Pascal's triangle, Fibonacci Quarterly 6(4) (1968) 221–234; Hoggatt, Jr, V. E., Convolution triangles for generalized Fibonacci numbers, Fibonacci Quarterly 8(2) (1970) 158–171
- ^ en Neiter, D. & Proag, A., Links Between Sums Over Paths in Bernoulli's Triangles and the Fibonacci Numbers, Journal of Integer Sequences, 19 (2016) 16.8.3.
- ^ Șirul A000124 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ Șirul A000125 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ Șirul A000127 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ Șirul A006261 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ Șirul A008861 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
Legături externe
![]() | Portal Matematică |
- en The sequence of numbers formed by Bernoulli's triangle on the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences: https://oeis.org/A008949.