Triunghiul numerelor de partiții
Referitor la partițiile numerelor întregi(d), studiate în teoria numerelor și combinatorică, semnificația numerelor este atât numărul de partiții ale lui în exact părți (adică sume de întregi pozitivi egale cu ), cât și numărul de partiții ale lui în părți de dimensiune maximă exact . Aceste două tipuri de partiții sunt bijective unul cu celălalt, printr-o reflexie diagonală a tablourilor lui Young(d) asociate numerelor. Numerele de partiții pot fi aranjate într-un triunghi, triunghiul numerelor de partiții, în care rândul conține numerele de partiții :[1]
k n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | ||||||||
2 | 1 | 1 | |||||||
3 | 1 | 1 | 1 | ||||||
4 | 1 | 2 | 1 | 1 | |||||
5 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | ||||
6 | 1 | 3 | 3 | 2 | 1 | 1 | |||
7 | 1 | 3 | 4 | 3 | 2 | 1 | 1 | ||
8 | 1 | 4 | 5 | 5 | 3 | 2 | 1 | 1 | |
9 | 1 | 4 | 7 | 6 | 5 | 3 | 2 | 1 | 1 |
Relația de recurență
Analog cu triunghiul lui Pascal, aceste numere pot fi calculate folosind relația de recurență:[2]
Drept cazuri particulare, iar orice valoare din partea dreaptă a recurenței care ar fi în afara triunghiului poate fi luată zero. Această ecuație poate fi explicată notând că fiecare partiție a din părți, enumerate de poate fi formată fie prin adăugarea unei părți de mărimea 1 la o partiție de în părți, enumerate de sau prin creșterea cu câte 1 parte a fiecărei partiții de din părți, enumerate de
Sumele rândurilor și diagonalelor
În triunghiul numerelor de partiții, suma numerelor din rândul este numărul de partiții(d) . Aceste numere formează succesiunea:[3]
- 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, ...
omițând valoarea inițială a numerelor partițiilor.
Fiecare diagonală de la stânga sus la dreapta jos este, începând de la un anumit rând, constantă, părțile constante ale acestor diagonale extinzându-se aproximativ de la jumătatea fiecărui rând până la capătul său. Valorile acestor constante sunt, din nou, numerele de partiții 1, 1, 2, 3, 5, 7, ... .[4]
Note
- ^ Șirul A008284 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ en Arndt, Jörg (), „16.4.1: Unrestricted partitions and partitions into parts”, Matters Computational: Ideas, Algorithms, Source Code (PDF), Springer, pp. 345–348
- ^ Șirul A000041 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ en Hopkins, Brian (), „Column-to-row operations on partitions: the envelopes” (PDF), Integers, 9 (Supplement): A6:1–A6:11, MR 2521954 [nefuncțională]
![]() | Portal Matematică |