Unghi tangențial
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Intrinsic_coordinates_%28Whewell_equation%29.png/220px-Intrinsic_coordinates_%28Whewell_equation%29.png)
În geometrie unghiul tangențial al unei curbe în planul cartezian, într-un anumit punct, este unghiul dintre tangenta în acel punct la curba dată și axa Ox.[1] (Unii autori definesc unghiul ca fiind abaterea față de direcția curbei într-un punct inițial, fix. Aceasta este echivalentă cu definiția dată aici prin adăugarea unei constante la unghi sau prin rotirea curbei.[2])
Ecuații
Dacă o curbă este definită parametric prin (x(t), y(t)), atunci unghiul tangențial φ în t este definit (până la un multiplu de 2π) prin[3]
Aici, simbolul „ ” (prim) indică derivata în raport cu t. Astfel, unghiul tangențial specifică direcția vectorului viteză (x(t), y(t)), în timp ce viteza specifică mărimea acestuia. Vectorul
este numit versor, deci o definiție echivalentă este aceea că unghiul tangențial la t este unghiul φ astfel încât (cos φ, sin φ) este versorul tangent la t.
Dacă curba este parametrizată prin lungimea arcului(d) s, astfel încât | x′(s), y′(s) | = 1, atunci definiția se simplifică la
În acest caz, curbura κ este dată de φ′(s), unde κ se ia pozitiv dacă curba se îndoaie spre stânga și negativ dacă curba se îndoaie spre dreapta.[1] Invers, unghiul tangențial într-un punct dat este egal cu integrala definită a curburii până la acel punct:[1][4]
Dacă curba este dată de graficul funcției y = f(x), atunci se poate lua (x, f(x)) ca parametrizare, și se poate considera că φ este între −π/2 și π/2. Asta duce la expresia explicită
Unghi tangențial polar
În coordonate polare unghiul tangențial polar este definit ca unghiul dintre tangenta la curbă în punctul dat și raza de la origine la punct.[5][6] Dacă prin ψ este notat unghiul tangențial polar, atunci ψ = φ − θ, unde φ este ca mai sus și θ este, ca de obicei, unghiul polar.
Dacă curba este definită în coordonate polare prin r = f(θ), atunci unghiul tangențial polar ψ la θ este definit (până la un multiplu de 2π) prin
- .
Dacă curba este parametrizată prin lungimea arcului s drept r = r(s), θ = θ(s), astfel încât | r′(s), rθ′(s) | = 1, atunci definiția devine
- .
Spirala logaritmică poate fi definită o curbă al cărei unghi polar tangențial este constant.[5][6]
Note
- ^ a b c Eric W. Weisstein, Natural Equation la MathWorld.
- ^ en Whewell, W. (). „Of the Intrinsic Equation of a Curve, and Its Application”. Cambridge Philosophical Transactions. 8: 659–671. Această lucrare folosește φ pentru a nota unghiul dintre tangentă și tangenta în origine. Aceasta este lucrarea care introduce ecuația Whewell, o aplicație a unghiului tangențial.
- ^ en Eric W. Weisstein, Tangential Angle la MathWorld.
- ^ en Surazhsky, Tatiana; Surazhsky, Vitaly (). Sampling planar curves using curvature-based shape analysis. Mathematical methods for curves and surfaces. Tromsø. CiteSeerX 10.1.1.125.2191
. ISBN 978-0-9728482-4-4.
- ^ a b en Williamson, Benjamin (). „Angle between Tangent and Radius Vector”. An Elementary Treatise on the Differential Calculus (ed. 9th). p. 222.
- ^ a b en Logarithmic Spiral la PlanetMath
Lectură suplimentară
- en „Notations”. Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (în French). Mentenanță CS1: Limbă nerecunoscută (link)
- en Yates, R. C. (). A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. pp. 123–126.
Vezi și
![]() | Portal Matematică |