Unghi tangențial

Unghiul tangențial φ al unei curbe oarecare P

În geometrie unghiul tangențial al unei curbe în planul cartezian, într-un anumit punct, este unghiul dintre tangenta în acel punct la curba dată și axa Ox.[1] (Unii autori definesc unghiul ca fiind abaterea față de direcția curbei într-un punct inițial, fix. Aceasta este echivalentă cu definiția dată aici prin adăugarea unei constante la unghi sau prin rotirea curbei.[2])

Ecuații

Dacă o curbă este definită parametric prin (x(t), y(t)), atunci unghiul tangențial φ în t este definit (până la un multiplu de 2π) prin[3]

( x ′ ( t ) ,   y ′ ( t ) ) | x ′ ( t ) ,   y ′ ( t ) | = ( cos ⁡ φ ,   sin ⁡ φ ) . {\displaystyle {\frac {{\big (}x^{\,\prime }(t),\ y^{\,\prime }(t){\big )}}{{\big |}x^{\,\prime }(t),\ y^{\,\prime }(t){\big |}}}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}

Aici, simbolul „ ′ {\displaystyle ^{\,\prime }} ” (prim) indică derivata în raport cu t. Astfel, unghiul tangențial specifică direcția vectorului viteză (x(t), y(t)), în timp ce viteza specifică mărimea acestuia. Vectorul

( x ′ ( t ) ,   y ′ ( t ) ) | x ′ y ′ ( t ) | {\displaystyle {\frac {{\big (}x^{\,\prime }(t),\ y^{\,\prime }(t){\big )}}{{\big |}x^{\,\prime }y^{\,\prime }(t){\big |}}}}

este numit versor, deci o definiție echivalentă este aceea că unghiul tangențial la t este unghiul φ astfel încât (cos φ, sin φ) este versorul tangent la t.

Dacă curba este parametrizată prin lungimea arcului⁠(d) s, astfel încât | x′(s), y′(s) | = 1, atunci definiția se simplifică la

( x ′ ( s ) ,   y ′ ( s ) ) = ( cos ⁡ φ ,   sin ⁡ φ ) . {\displaystyle {\big (}x^{\,\prime }(s),\ y^{\,\prime }(s){\big )}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}

În acest caz, curbura κ este dată de φ′(s), unde κ se ia pozitiv dacă curba se îndoaie spre stânga și negativ dacă curba se îndoaie spre dreapta.[1] Invers, unghiul tangențial într-un punct dat este egal cu integrala definită a curburii până la acel punct:[1][4]

φ ( s ) = ∫ 0 s κ ( s ) d s + φ 0 , {\displaystyle \varphi (s)=\int _{0}^{s}\kappa (s)ds+\varphi _{0}\,,}
φ ( t ) = ∫ 0 t κ ( t ) s ′ ( t ) d t + φ 0 . {\displaystyle \varphi (t)=\int _{0}^{t}\kappa (t)s^{\,\prime }(t)dt+\varphi _{0}\,.}

Dacă curba este dată de graficul funcției y = f(x), atunci se poate lua (x, f(x)) ca parametrizare, și se poate considera că φ este între −π/2 și π/2. Asta duce la expresia explicită

φ = arctan ⁡ f ′ ( x ) . {\displaystyle \varphi =\arctan f^{\,\prime }(x).}

Unghi tangențial polar

În coordonate polare unghiul tangențial polar este definit ca unghiul dintre tangenta la curbă în punctul dat și raza de la origine la punct.[5][6] Dacă prin ψ este notat unghiul tangențial polar, atunci ψ = φ − θ, unde φ este ca mai sus și θ este, ca de obicei, unghiul polar.

Dacă curba este definită în coordonate polare prin r = f(θ), atunci unghiul tangențial polar ψ la θ este definit (până la un multiplu de 2π) prin

( f ′ ( θ ) ,   f ( θ ) ) | f ′ ( θ ) ,   f ( θ ) | = ( cos ⁡ ψ ,   sin ⁡ ψ ) {\displaystyle {\frac {{\big (}f^{\,\prime }(\theta ),\ f(\theta ){\big )}}{{\big |}f^{\,\prime }(\theta ),\ f(\theta ){\big |}}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )} .

Dacă curba este parametrizată prin lungimea arcului s drept r = r(s), θ = θ(s), astfel încât | r′(s), rθ′(s) | = 1, atunci definiția devine

( r ′ ( s ) ,   r θ ′ ( s ) ) = ( cos ⁡ ψ ,   sin ⁡ ψ ) {\displaystyle {\big (}r^{\,\prime }(s),\ r\theta ^{\,\prime }(s){\big )}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )} .

Spirala logaritmică poate fi definită o curbă al cărei unghi polar tangențial este constant.[5][6]

Note

  1. ^ a b c Eric W. Weisstein, Natural Equation la MathWorld.
  2. ^ en Whewell, W. (). „Of the Intrinsic Equation of a Curve, and Its Application”. Cambridge Philosophical Transactions. 8: 659–671.  Această lucrare folosește φ pentru a nota unghiul dintre tangentă și tangenta în origine. Aceasta este lucrarea care introduce ecuația Whewell, o aplicație a unghiului tangențial.
  3. ^ en Eric W. Weisstein, Tangential Angle la MathWorld.
  4. ^ en Surazhsky, Tatiana; Surazhsky, Vitaly (). Sampling planar curves using curvature-based shape analysis. Mathematical methods for curves and surfaces. Tromsø. CiteSeerX 10.1.1.125.2191 Accesibil gratuit. ISBN 978-0-9728482-4-4. 
  5. ^ a b en Williamson, Benjamin (). „Angle between Tangent and Radius Vector”. An Elementary Treatise on the Differential Calculus (ed. 9th). p. 222. 
  6. ^ a b en Logarithmic Spiral la PlanetMath

Lectură suplimentară

  • en „Notations”. Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (în French). Mentenanță CS1: Limbă nerecunoscută (link)
  • en Yates, R. C. (). A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. pp. 123–126. 

Vezi și

Portal icon Portal Matematică