L-функция Дирихле

L-функция Дирихле ${\displaystyle L_{\chi }(s)}$ — комплексная функция, заданная при ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>0}$ (при ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>1}$ в случае главного характера) формулой

${\displaystyle L_{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$,

где ${\displaystyle \chi (n)}$ — некоторый числовой характер (по модулю k). ${\displaystyle L}$-функции Дирихле были введены для доказательства теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, центральным моментом которого является доказательство неравенства ${\displaystyle L_{\chi }(1)\neq 0}$ для неглавных характеров.

В силу мультипликативности числового характера ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle L}$-функция Дирихле представима в области ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>1}$ в виде эйлерова произведения по простым числам:

${\displaystyle L_{\chi }(s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}}$.

Эта формула обуславливает многочисленные применения ${\displaystyle L}$-функций в теории простых чисел.

${\displaystyle L}$-функция Дирихле, соответствующая главному характеру по модулю k, связана с дзета-функцией Римана ${\displaystyle \zeta (s)}$ формулой

${\displaystyle L_{\chi _{0}}(s)=\zeta (s)\prod _{p|k}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}$.

Эта формула позволяет доопределить ${\displaystyle L_{\chi _{0}}(s)}$ для области ${\displaystyle Re(s)>0}$ c простым полюсом в точке ${\displaystyle s=1}$.

Аналогично функции Римана, ${\displaystyle L}$-функция удовлетворяет похожему функциональному уравнению.

Определим ${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)}$ следующим образом: если ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция, ${\displaystyle \chi (-1)=1}$ — чётный характер, то

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)L(\chi ,s)}$

Если ${\displaystyle \chi (-1)=-1}$ — нечётный характер, то

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-(s+1)/2}\Gamma ((s+1)/2)L(\chi ,s)}$

Пусть также ${\displaystyle g(\chi )=\sum \limits _{k=1}^{q}\chi (k)\exp {\frac {2\pi ik}{q}}}$ — сумма Гаусса характера ${\displaystyle \chi }$, а ${\displaystyle \varepsilon (\chi )={\frac {g(\chi )}{\sqrt {q}}}}$ для чётного ${\displaystyle \chi }$ и ${\displaystyle \varepsilon (\chi )=-i{\frac {g(\chi )}{\sqrt {q}}}}$ для нечётного ${\displaystyle \chi }$. Тогда функциональное уравнение принимает вид:

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)=\varepsilon (\chi )q^{1/2-s}\Lambda ({\bar {\chi }},1-s)}$

• Ряд Дирихле

• Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
• Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.