Logaritamske jednačine

U matematici postoje nekoliko logaritamskih jednačina.

Ljudi koriste logaritme da bi uprostili račun. Na primer, dva broja mogu biti pomnožena samo koristeći tablicu logaritama i sabiranje.

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,}$	zbog	${\displaystyle b^{m}\cdot b^{n}=b^{m+n}}$
${\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	zbog	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {b^{m}}{b^{n}}}\end{matrix}}=b^{m-n}}$
${\displaystyle \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,}$	zbog	${\displaystyle (b^{n})^{y}=b^{ny}\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}$	zbog	${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}$

Logaritmi i eksponenti (antilogaritmi) sa istom osnovom se poništavaju.

${\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}$	zbog	${\displaystyle \mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x\!\,}$	zbog	${\displaystyle \log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,}$

${\displaystyle \log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}}$

Ova jednačina se koristi za izračunavanje logaritama na elektronskim kalkulatorima. Na primer, većina kalkulatora ima dugmad za ln i za log₁₀, ali ne i za log₂. Da bismo našli log₂(3), treba izračunati log₁₀(3) / log₁₀(2) (ili ln(3)/ln(2), što je zapravo ista stvar).

Iz ove formule proizilazi nekoliko stvari:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$

${\displaystyle \log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b}$

${\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}$

${\displaystyle \log _{b}(1)=0\!\,}$	zbog	${\displaystyle b^{0}=1\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}(b)=1\!\,}$	zbog	${\displaystyle b^{1}=b\!\,}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}$

Poslednji limes se često shvata kao "logaritam raste sporije od bilo kog stepena ili korena x".

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}={1 \over x\ln e},\qquad x>0}$

${\displaystyle {d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},\qquad b>0,b\neq 1}$

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}$

što se za a=e svodi na

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C}$