Matematičko klatno

Matematičko klatno je oscilatorni sistem koji se sastoji iz neistegljive niti zanemarljive mase na koju je obešena kuglica zanemarljivo malih dimenzija u odnosu na dužinu niti i znatno veće mase od mase niti i koji može da osciluje pod uticajem Zemljine teže.

Preko trigonometrijskih odnosa i uz pomoć razlaganja sila, drugih matematičkih veza, kao i preko zakona održanja energije može se izvesti obrazac za period oscilovanja matematičkog klatna pri malim uglovima amplitudnog otklona.

Na slici je prikazano klatno otklonjeno od ravnotežnog položaja i na njoj su obeležene osnovne veličine koje opisuju kretanje klatna. Veza između ovih fizičkih veličina je opisana diferencijalnom jednačinom:

${\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0}$

Daljim sređivanjem:

${\displaystyle {d\theta \over dt}={\sqrt {{2g \over \ell }\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}}$

Za male uglove važi sledeća aproksimacija:

${\displaystyle \sin \theta \approx \theta \,}$

odakle se daljim računom i pojednostavljenjem dobija:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$

Ovaj izraz opisuje da je period oscilacije matematičkog klatna srazmeran kvadratnom korenu dužine klatna. Iz ovog izraza sledi da se poznavanjem dužine klatna i perioda oscilovanja može odrediti koliko iznosi ubrzanje zemljine teže.

Ovo je nešto jednostavniji način izvođenja prethodne formule.

Silu mg možemo razložiti na dve pozitivne, pasivne, kondenzatorske komponente: ${\displaystyle mg\sin \theta \,}$ i ${\displaystyle mg\cos \theta \,}$. Da bi sistem harmonijski oscilovao potrebno je dejstvo povratne sile oblika -kx. Izjednačavanjem nalazimo: ${\displaystyle mg\sin \theta =kx\,}$. Pošto je za male uglove:

${\displaystyle \sin \theta ={x \over {l}}}$

Sledi:

${\displaystyle {mgx \over l}=kx}$

Odatle dobijamo da je:

${\displaystyle mg=kl\,}$

${\displaystyle {m \over k}={l \over g}}$

Upoređivanjem sa formulom za period oscilovanja harmonijskog oscilatora dobijamo obrazac:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$

Matematičko klatno je harmonijski oscilator, saglasno pretpostavci iskorišćenoj u prethodnom dokazu, ali samo za male uglove kada važi aposkrimacija sa sinusom ugla, koja je u njemu spomenuta. Međutim čak i sa nešto većim uglovima(do oko 8°) prethodno izvedena formula daje približno tačne rezultate(pri čemu sa porastom ugla ta tačnost opada). Ipak za preciznija merenja ne može se uvek koristiti(već samo za jako male uglove) i za to postoji složeno izvođenje koje uzima u obzir ograničen opseg važenja te aposkrimacije i daje tačnu vrednost perioda oscilovanja u posmatranom sistemu.

Matematičko klatno je oblik idealizacije. Fizičko klatno predstavlja proizvoljno kruto telo koje pod uticajem Zemljine teže može oscilovati oko horizonatalne ose koja ne prolazi kroz njegovo središte. Kao specijalan slučaj fizičkog klatna, kada važi I=ml², gde je I moment inercije javlja se matematičko klatno. S tim u vezi se koristimo pojam redukovane dužine matematičkog klatna.

Matematičko klatno na Wikimedijinoj ostavi

• Pendulum (en)