Norme na
su realne funkcije na
koje imaju određene osobine. Važnu klasu takvih funkcija čine p-norme.
p-norme možemo definisati za svaki realan broj
te za
.
2-norma standardna euklidska norma
1-norma je poznata pod nazivom taxicab- norma a
-normu obično nazivamo max-norma. Svaka norma definiše udaljenost (metriku). Uvođenjem p-normi dobili smo razne načine za računanje udaljenosti između dvije tačke.
Definicija 1
Realna funkcija
:
naziva se norma na R2 ako ima sljedeće osobine:
Za sve
i sve
Zadajući neku normu na
,
postaje normirani prostor.
Primjer norme na
je Euklidska norma koja predstavlja dužinu dužine čije su krajnje tačke (
i
, tj.
koja predstavlja poseban slučaj p-normi
Definicija 2
Za svaki realni broj p,
definišimo
Funkcija
je p- norma na
Da bi bili li sigurni da je ovo norma moramo provjeriti da li funkcija zadovoljava uslove iz definicije 1. Osobine (1), (2) i (4) se lako provjere, dok je provjera (3) poznata kao nejednakost trougla, za ovaj dokaz koristi se Youngova nejednakost.
Za sve
takve da je
vrijedi
Teorema 1
Za svaki
formulom
Dokaz
Treba dokazati da za svaki
vrijedi
tj.
za sve
Za
Za
U nejednakosti
uvrstit ćemo izraze za
,
i
a zatim
i
dobijamo nejednakosti
saberemo li ih dobijamo nejednakosti
tj
za svako
Ako uzmemo
za
i (
za
i smatrajući
Zamjenom uloga x i u , y i v imamo
na osnovu ranijih nejednakosti imamo
odnosno
Dijeljenjem s drugim faktorom s desne strane slijedi
Izvor
p-norme na
, kružnice
i brojevi
// Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)