Abelsk integral

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2017-12) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En abelsk integral är en (komplex) integral av formen

${\displaystyle \int _{z_{0}}^{z}R(x,w)\,dx,}$

där ${\displaystyle R(x,w)}$ är en rationell funktion (dvs. en kvot av två polynom) och ${\displaystyle w}$ är en algebraisk funktion av ${\displaystyle x}$^[1]. Detta betyder att ${\displaystyle x}$ och ${\displaystyle w}$ uppfyller en polynomekvation, säg ${\displaystyle F(x,w)=0}$. Även om ekvationen som relaterar ${\displaystyle x}$ och ${\displaystyle w}$ inte kan lösas explicit, definierar den enligt implicita funktionssatsen ${\displaystyle w=w(x)}$ som funktion av ${\displaystyle x}$, i vart fall lokalt. Ett mer symmetriskt (och geometriskt) synsätt är att ${\displaystyle x}$ och ${\displaystyle w}$ båda är reguljära funtioner på den algebraiska kurva som definieras av ekvationen ${\displaystyle F(x,w)=0}$. Härvid är det naturligt att anta att polynomet ${\displaystyle F}$ är irreducibelt.

Om ${\displaystyle F(x,w)=x^{2}+w^{2}-1}$ kan ekvationen lösas explicit i termer av kvadratrötter:

${\displaystyle w=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},}$

och man erhåller integraler av formen

${\displaystyle \int _{z_{0}}^{z}R(x,{\sqrt {1-x^{2}}})\,dx,}$

exempelvis

${\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin z.}$

Redan i detta enkla fall framgår att abelska integraler i allmänhet är flervärda funktioner: sinusfunktionen är inte injektiv och har därför ingen invers i strikt bemärkelse. Integralens värde beror alltså inte bara på integrationsgränserna utan även på integrationsvägen. Ett likartat men mer avancerat exempel är elliptiska integraler:

${\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {1-k^{2}x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\,dx,}$

vilka först undersöktes i samband med försök att beräkna ellipsens båglängd.

• Waldschmidt et al., (ed.) From Number Theory to Physics, Springer 1992, ISBN 978-0387533421
• Griffiths, Philip och Harris, Joseph: Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, New York 1978
• Lang, Serge: Introduction to Algebraic and Abelian Functions, Springer 2011 (andra upplagan), ISBN 0-387-90710-6