Aleftal
Inom mängdteorin används alef-tal för att ange kardinaliteten, det vill säga antalet element, i oändliga mängder. Alef är den första bokstaven i det hebreiska alfabetet (ℵ). Det finns oändligt många Alef-tal och de betecknas ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂ och så vidare.[1]
- (alef-noll) är kardinaltalet för alla uppräkneligt oändliga mängder. Exempel på sådana mängder är de naturliga talen och heltalen.
- (alef-ett) är kardinaltalet för mängden av alla icke-uppräkneligt oändliga ordinaltal. Enligt den så kallade kontinuumhypotesen är detta kardinaltal lika med kardinaltalet för mängden av alla reella tal, det vill säga ℵ₁ = 2ℵ₀.
- (alef-två) är kardinaltalet för mängden av alla ordinaltal av kardinalitet Alef-1.
- Efter talen ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂,… följer ℵω som är ett singulärt kardinaltal.
Mängden av reella tal är alltså inte av storleken Alef-0, utan större. Denna mängd säges därför istället vara ett kontinuum, "har kontinuums mäktighet". Av Cantors sats följer att det inte finns någon gräns på hur stora oändligheter vi kan bilda.[2]
Om man låter P(A) beteckna potensmängden av mängden X gäller till exempel: X < P(X) < P(P(X)) < …, även för oändliga mängder X.
Se även
- Uppräknelig mängd
- Uppräkneligt oändlig
- Kontinuum
- Kontinuumhypotesen