Andragradsyta

Inom matematiken är en andragradsyta en D-dimensionell hyperyta definierad som lösningsmängden till ett kvadratiskt polynom. Med koordinater {x0, x1, x2, …, xD} definieras den allmänna andragradsytan av ekvationen

∑ i , j = 0 D Q i , j x i x j + ∑ i = 0 D P i x i + R = 0 {\displaystyle \sum _{i,j=0}^{D}Q_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=0}^{D}P_{i}x_{i}+R=0}

där Q är en D+1 dimensionell matris, P är en D + 1 dimensionell vektor, och R en konstant. Värdena Q, P och R tas ofta som reella tal eller komplexa tal.

I normalform skrivs en tre-dimensionell (D = 3) andragradsyta centrerad i origo (0,0,0) som:

x 2 a 2 ± y 2 b 2 ± z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}\pm {\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}

Med translationer och rotationer kan varje andragradsyta transformeras till en av flera normalformer. I det tredimensionella euklidiska rummet finns 16 sådana normalformer och de mest intressanta är

Yta Ekvation Plot
    Ellipsoid x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,}
    Elliptisk paraboloid x 2 a 2 + y 2 b 2 − z = 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}
    Hyperbolisk paraboloid x 2 a 2 − y 2 b 2 − z = 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}
   Enmantlad elliptisk hyperboloid x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,}
   Tvåmantlad elliptisk hyperboloid x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1}
    Elliptisk cylinder x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,}
    Hyperbolisk cylinder x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,}
    Parabolisk cylinder x 2 + 2 a y = 0 {\displaystyle x^{2}+2ay=0\,}
    Sfäroider (specialfall av ellipsoider) x 2 a 2 + y 2 a 2 + z 2 b 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,}
    Sfär (specialfall av sfäroid) x 2 a 2 + y 2 a 2 + z 2 a 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,}
    Cirkulär paraboloid (specialfall av elliptisk paraboloid) x 2 a 2 + y 2 a 2 − z = 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,}
   Enmantlad cirkulär hyperboloid x 2 a 2 + y 2 a 2 − z 2 b 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=1}
   Tvåmantlad cirkulär hyperboloid x 2 a 2 + y 2 a 2 − z 2 b 2 = − 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=-1}
    Elliptisk kon x 2 a 2 + y 2 a 2 − z 2 b 2 = 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=0}
    Cirkulär cylinder x 2 a 2 + y 2 a 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1}
    Cirkulär kon x 2 a 2 + y 2 a 2 − z 2 = 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z^{2}=0}

Se även

  • Kvadratisk form

Externa länkar

  • [1], Quadrics in Geometry Formulas and Facts av Silvio Levy, utdrag från 30:e upplagan av "CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press)".