I differentialekvationer av första ordningen ingår en funktion och funktionens förstaderivata. Det finns flera lösningsmetoder för differentialekvationer av första ordningen, och vilken metod som används beror på av vilken typ differentialekvationen är.
Differentialekvationer med separabla variabler
En ekvation har separabla variabler när den kan skrivas om så att dess respektive variabel, inklusive differential, hamnar på varsin sida om likhetstecknet. Differentialekvationen ska alltså kunna skrivas på formen
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015884c6270dc2fdbd0bdefb3932cf9ddd7a937c)
För att lösa ekvationen multipliceras med
och divideras med
och därefter integreras båda leden. Detta ger
![{\displaystyle \int _{}^{}{\frac {dy}{h(y)}}\ =\int _{}^{}g(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab4e1caa4f70895dcea451d242666395f8d562e)
med (den implicita) lösningen
![{\displaystyle \ H(y)=G(x)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be644eb0525e90e12d69bb34b1c9bfa6bb30b84)
Exempel på differentialekvation med separabla variabler
Exemplet visar hur en differentialekvation med separabla variabler löses.
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y(2+\sin x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635068042ee5a11112a9d77d4bf253485ea3c76e)
Multiplicera båda leden med
, dividera med
och integrera:
![{\displaystyle \ \ln y+C_{1}=2x-\cos {x}+C_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d34325fa2ad08c2c936014222027ae3432dfb5)
De båda konstanterna kan lika gärna skrivas som en konstant
, och därefter löses
ut:
![{\displaystyle \ \ln y=2x-\cos {x}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cc86e8abfbe8b5ed31d3d9eb50b9e44c7018db)
![{\displaystyle \ y=e^{2x-\cos {x}+C}=e^{C}e^{2x-\cos {x}}=De^{2x-\cos x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1521327d2000387a4731d0d091009342a6baed6a)
Linjära differentialekvationer
En linjär differentialekvation av första ordningen kan skrivas på följande form, som kallas standardform:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+g(x)y=h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0113f6d0f3a93202fe54e9ae0c598a838a32d450)
För att lösa denna ekvation bestäms en funktion
, som är sådan att om ekvationen multipliceras med denna, så blir vänsterledet derivatan av produkten
. Funktionen
kallas integrerande faktor, och bestäms genom
![{\displaystyle m(x)=e^{\int _{}^{}g(x)\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902bfccb5633f89445cdcd6bd87dcf1278f5c240)
Multiplicera båda leden i ekvationen med
![{\displaystyle m(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)g(x)y=m(x)h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84da1691e213b0c41ac37557bc39dd3eba51d365)
Vänsterledet är nu derivatan av produkten ![{\displaystyle m(x)y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1531c610456ae184ebfac7772b0240d3e5790a)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(m(x)y)=m(x)h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac507ba21b49ece7b80e16cc2fa97d2a0f1549d)
och lösningen på differentialekvationen är
![{\displaystyle y(x)={\frac {1}{m(x)}}\left(\int _{}^{}m(x)h(x)\,dx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce51e49a13a22371bb0edf8001510bddb4df99a)
Exempel på linjär differentialekvation
Exemplet visar hur man löser den linjära differentialekvationen
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}-y=e^{3x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c3d2be8a4500877913e64d80dfa31da8349565)
Beräkna den integrerande faktorn. Integrationskonstanten utelämnas, eftersom man senare integrerar en gång till, och får en ny konstant.
![{\displaystyle m(x)=e^{\int _{}^{}-1\,dx}=e^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/230069f2c4d9b43ec0cf6fd91f62dc70deba2d6a)
Multiplicera differentialekvationen med den integrerande faktorn:
![{\displaystyle e^{-x}{\frac {dy}{dx}}-ye^{-x}=e^{-x}e^{3x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eaea4eb731f78506bcda07becd6309e065710ff)
vilket förenklas till
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(ye^{-x})=e^{2x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbaed5502b125792746f5f4ff55f472b14b026d1)
Integrera båda leden och lös därefter ut
![{\displaystyle y(x)={1 \over 2}e^{3x}+Ce^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10cb23ee7ce495944c1f1274e762a88f67dbb710)
Bernoulli-ekvationer
En Bernoulli-ekvation kan skrivas på formen
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+f(x)y=g(x)y^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378e083b783ab5715342efe7c1563257f01ee7c4)
Om
är 0 eller 1 är ekvationen linjär, se Linjära differentialekvationer ovan, i annat fall löses den på följande sätt:
Dividera först med
vilket ger
![{\displaystyle \ y^{-n}{\frac {dy}{dx}}+f(x)y^{1-n}=g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf463b1adcc073c9c08f105b23afdaaeb7109adc)
Gör substitutionen
![{\displaystyle \ z=y^{1-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bbda263d83d2153cfb072f5d929cb1a73b41c2a)
och derivera
med avseende på
, med resultatet
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=(1-n)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2be4efebe5bc38ba2abce389c81a7823b8d3b81)
Ersätt
med
i differentialekvationen
![{\displaystyle {\frac {1}{1-n}}{\frac {dz}{dx}}+f(x)z=g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a583fb1dca8d152c2d9d614b673f58a1f34540e6)
Denna ekvation är linjär och löses som i avsnittet Linjära differentialekvationer ovan, varefter man åter ersätter
![{\displaystyle \ z=y^{1-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bbda263d83d2153cfb072f5d929cb1a73b41c2a)
för att få resultatet som en funktion i
.
Homogena ekvationer
Om högra ledet i följande differentialekvation kan uttryckas som en funktion i förhållandet
, kallas ekvationen homogen.
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3af2832fa9a7a6d3341f54e86414f20b774e9ee)
För att lösa en homogen ekvation görs substitutionen
![{\displaystyle z={y \over x}{\mbox{ vilket ger att }}y=zx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf398409ec7bfe171369c0c86c676ac726543e63)
Derivera
med avseende på
:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=z+x{\frac {dz}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9b5a6a8e214d2d182402080b6e0a5dccba7d1b)
Sätt in i den ursprungliga ekvationen
![{\displaystyle z+x{\frac {dz}{dx}}=g(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b686ea3fd9667c1501bf0ae6f80c122727b8f335)
Denna differentialekvation är nu en differentialekvation med separabla variabler och löses som i avsnittet ovan som behandlar sådana. Slutligen ersätter man
med
för att få svaret i de ursprungliga variablerna.
Ekvationer där högerledet är en funktion av (ax + by)
I ekvationer av denna form gör man substitutionen
![{\displaystyle z=ax+by}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f7f6657e66226d94519d4dc7d0d4979b3c470d)
som ger att
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=a+b{\frac {dy}{dx}}{\mbox{ vilket ger att }}{\frac {dy}{dx}}={1 \over b}{\frac {dz}{dx}}-{a \over b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff52da7cbff1fc2700bbaccde65961f6905545a2)
Sätt in i den ursprungliga ekvationen
![{\displaystyle {1 \over b}{\frac {dz}{dx}}-{a \over b}=g(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d74db5383499c7bfb114c9a5eb8cd91706665a)
vilket är en differentialekvation med separabla variabler och löses som i avsnittet ovan som behandlar sådana. Slutligen ersätter man
med
för att få svaret i de ursprungliga variablerna.
Ekvationer med linjära koefficienter
Ekvationer med linjära koefficienter är av formen
![{\displaystyle \ (ax+by+c)dx+(px+qy+r)dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5dd92dc223d9dbc2f4b73a943ceb420bc86f21)
Om
är ekvationen av formen dy/dx = f(ax + by) och löses som i avsnittet ovan som behandlar sådana. Om
är ekvationen homogen och löses som i avsnittet Homogena ekvationer. I andra fall gör man följande substitutioner
![{\displaystyle \ x=u+h{\mbox{ och }}y=v+k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c80a708ba2ee3c1cb91ab002178e7e6e3a82c0)
Där
och
är konstanter som fås fram genom att lösa ekvationssystemet
![{\displaystyle \ ah+bk+c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409b1b11b564a2ce685ecbd4871d41611841720f)
![{\displaystyle \ ph+qk+r=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7cefc96b9d4943962fb20c67cd0ab20e84672a4)
De nya variablerna insatta i differentialekvationen ger den homogena ekvationen
![{\displaystyle {\frac {dv}{du}}=-{\frac {au+bv}{pu+qv}}=-{\frac {a+b{v \over u}}{p+q{v \over u}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f134d4545e8d195cb4fac0c60c163ed97e6841d)
som löses som i avsnittet Homogena ekvationer.
Exakta ekvationer
Alla differentialekvationer av första ordningen kan skrivas på formen
![{\displaystyle \ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64489b14fa9a612e0db91e0656aa36b56fe4fb23)
Denna ekvation sägs vara exakt om
![{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c301ce8738055e297af91912f9020faf59c7f689)
Då är
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=M(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d620f5b48895a5148a9dc57f03129dea9fbbf1b6)
Denna ekvation integreras med avseende på
vilket ger
![{\displaystyle F(x,y)=\int _{}^{}M(x,y)\,dx+g(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a1d4527dda2f54708876b9796e747be3f9de9f9)
som deriveras med avseende på
vilket ger
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\int _{}^{}M(x,y)\,dx\right)+g'(y)=N(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08c8e075685636ffb735c9213071ab8dee41966)
Ur denna funktion löses
som därefter integreras för att få
. (Vid denna integration sätts integrationskonstanten till 0, eftersom den ingår i den implicita lösningen.) Därmed är
klar, och den implicita lösningen till differentialekvationen är
![{\displaystyle \ F(x,y)=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2502e5d3671cf3262180cd5553f53ec21fa476)
Man kan lika gärna börja med
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=N(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c40418a62a05acc0d9caf8d9385cfe20a70650)
och integrera med avseende på
. Man väljer
eller
beroende på vilken som är lättast att integrera.
Om differentialekvationen inte är exakt, kan man i vissa fall multiplicera med en integrerande faktor
, som gör ekvationen exakt.
Om
![{\displaystyle {\frac {{\frac {\partial M}{\partial y}}-{\frac {\partial N}{\partial x}}}{N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e980afd50745aaccd8262f3c73aae79b9a9968f6)
bara beror av
är den integrerande faktorn
upphöjt till integralen med avseende på
av detta uttryck.
Om
![{\displaystyle {\frac {{\frac {\partial N}{\partial x}}-{\frac {\partial M}{\partial y}}}{M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f358344475a18b57930fbd575c144e302eebca)
bara beror av
är den integrerande faktorn
upphöjt till integralen med avseende på
av detta uttryck.
Exempel på en exakt differentialekvation
Här löses differentialekvationen
![{\displaystyle \ (2xy+3)dx+(x^{2}-1)dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02257f28ef483874cac7d88ec624335a1f43e500)
Först testas om ekvationen är exakt. Här är
![{\displaystyle \ M(x,y)=2xy+3{\mbox{ och }}N(x,y)=x^{2}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6227d7255887aad64c14d27de2f0632bf04027ef)
vilket ger
![{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}=2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980bb24b84419dbba5ea1ffd6084e477091dbb3c)
Alltså är differentialekvationen exakt.
![{\displaystyle F(x,y)=\int _{}^{}(2xy+3)\,dx+g(y)=x^{2}y+3x+g(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b5382fad35199ba82618bed61d816b50c573cc)
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=N(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2262285e4d2418fa06a9ebb810ad9ec415202c3e)
![{\displaystyle \ x^{2}+g'(y)=x^{2}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8d7957dda852138204b9da36910e5b5a88388b)
Alltså är
![{\displaystyle \ g'(y)=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a85d1a63f6ff8e499270f4e38cbf0a2ce8f7606)
Detta integreras (och integrationskonstanten sätts till 0):
![{\displaystyle \ g(y)=\int _{}^{}(-1)\,dy=-y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b17b81a2d4505a34bbdecef8cf90bd46ecda2ef7)
![{\displaystyle \ F(x,y)=x^{2}y+3x-y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5c736adcc75ccc79b204d53b5fae4f123cda94)
och den implicita lösningen är
![{\displaystyle \ x^{2}y+3x-y=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cf711f516b8d1e86dade18ec38166be5c93267)
Just i detta fallet kan man lösa ut
och få den explicita lösningen
![{\displaystyle \ y={\frac {C-3x}{x^{2}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17efc3f6190c4481de2bbfcbd3b5d0298997511d)
Se även