Eulers kedjebråksformel

Inom matematiken är Eulers kedjebråksformel en viss identitet mellan en serie med ett kedjebråk. Formeln bevisades av Euler och publicerades 1748. Formeln är

a 0 + a 0 a 1 + a 0 a 1 a 2 + ⋯ + a 0 a 1 a 2 ⋯ a n = a 0 1 − a 1 1 + a 1 − a 2 1 + a 2 − ⋱ ⋱ a n − 1 1 + a n − 1 − a n 1 + a n {\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {\ddots }{\ddots {\cfrac {a_{n-1}}{1+a_{n-1}-{\cfrac {a_{n}}{1+a_{n}}}}}}}}}}}}}\,}

Den kan lätt kontrolleras med induktion.

Specialfall

e x = x 0 0 ! + x 1 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ = 1 + x 1 − 1 x 2 + x − 2 x 3 + x − 3 x 4 + x − ⋱ {\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}}

log ⁡ ( 1 + x ) = x 1 1 − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ = x 1 − 0 x + 1 2 x 2 − 1 x + 2 2 x 3 − 2 x + 3 2 x 4 − 3 x + ⋱ {\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Euler's continued fraction formula, 5 januari 2014.
  • H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8.