Felfunktionen
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Error_Function.svg/400px-Error_Function.svg.png)
Felfunktionen, erf, (också kallad Gauss felfunktion) är inom matematiken en specialfunktion (den är inte elementär) som förekommer inom sannolikhetslära, statistik och tillämpade partiella differentialekvationer. Den definieras som[1][2]
Inom statistiken har felfunktionen för icke-negativa tal tolkningen: för en stokastisk variabel Y som är normalfördelad med medelvärdet 0 och variansen 1/2, beskriver erf(x) sannolikheten för Y inom intervallet [−x, x].
Egenskaper
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/ComplexEx2.jpg/250px-ComplexEx2.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/ComplexErf.jpg/250px-ComplexErf.jpg)
Egenskapen innebär att felfunktionen är en udda funktion. För varje komplext tal z är
där är det komplexa konjugatet av z.
Integranden ƒ = exp(−z2) och ƒ = erf(z) visas i det komplexa z-plane i figurerna 2 and 3. Beloppet av Im(ƒ) = 0 visas med en tjock grön linje. Negativa heltalsvärden hos Im(ƒ) visas med tjocka röda linjer. Positiva heltalsvärden av Im(f) visas med tjocka blå linjer. Mellanliggande värden Im(ƒ) = konstant visas med tunna gröna linjer. Mellanliggande värden av Re(ƒ) = konstant visas med tunna röda linjer för negativa värden och med tunna blå linjer för positiva värden.
Felfunktionen är exakt 1 vid +∞. Längs den reella axeln närmar sig erf(z) 1 när z → +∞ och −1 när z → −∞. Längs den imaginära axeln, närmar sig funktionen ±i∞.
Taylorserier
Felfunktionen är en hel funktion; den har inga singulariteter (med undantag för den vid oändligheten) och dess Taylorutveckling konvergerar alltid.
Den definierande integralen kan inte beräknas i sluten form med elementära funktioner, men genom expansion av e−z2 i dess Maclaurinserie och integration term för term erhålls felfunktionens Maclaurinserie som
vilken gäller för varje komplext tal z.
Den imaginära felfunktionen har en liknande Maclaurinserie:
vilken gäller för varje komplext tal z.
Derivata och integral
Felfunktionens derivata följer direkt från dess definition:
En primitiv funktion till felfunktionen, erhålls genom partialintegration och är
En primitiv funktion till den komplexa felfunktionen, erhålls också genom partialintegration och är
Högre derivator ges av
där är ett Hermitepolynom.[3]
Referenser
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, erf, 18 mars 2018.
Noter
Externa länkar
Wikimedia Commons har media som rör Felfunktionen.
Bilder & media
|