Funktor
![]() | Wiktionary har en ordboksartikel om funktor. |
Inom kategoriteorin i matematik är en funktor en tillordning som på ett naturligt sätt till varje objekt i en kategori associerar något objekt i samma eller en annan kategori.
Inledning
En mycket vanlig konstruktion i matematiken är att man till en struktur av en viss typ associerar en annan struktur. Några exempel på sådana konstruktioner är:
- Till ett topologiskt rum associerar man dess homologigrupper
- Till en ring associerar man dess maximala fraktionsring
- Till en grupp associerar man dess centrum
- Till ett komplex associerar man dess homologikomplex
- Givet en abelsk grupp , associerar man till varje abelsk grupp gruppen av homomorfismer
Om en sådan association är sådan att avbildningar mellan två strukturer på ett naturligt sätt inducerar avbildningar mellan de associerade strukturerna, kallas associationen för en funktor. Mer allmänt kan man definiera funktorer mellan två kategorier Alla associationer i listan ovan är funktorer.
Kovariant och kontravariant funktor
En kovariant funktor är en funktor som bevarar ordningen på morfierna.
En kontravariant funktor är en funktor som kastar om ordningen på morfierna.
Om termen "funktor" används utan att variansen anges, så syftar termen oftast på en kovariant funktor.
Definitioner
Givet två kategorier så är en (kovariant) funktor ett par av tillordningar där avbildar objekt i på objekt i och avbildar morfier i på morfier i sådan att följande är sant:
- Om och så gäller
- Om så
För en kontravariant funktor ersätts villkoren med:
- Om och så gäller
- Om så
Funktorer med extra egenskaper
Låt vara en (kovariant) funktor och låt som brukligt beteckna mängden av morfismer från objektet till objektet i kategorin (dito för kategorin ). Funktorn ger för varje par av objekt i en avbildning
- .
Funktorn sägs vara trogen om varje sådan är injektiv. Den sägs vara full om varje sådan är surjektiv. En funktor som är både trogen och full sägs vara fullt trogen.