Inom matematiken är det n:te harmoniska talet summan av reciprokerna av de n första naturliga talen:
Harmoniska tal är viktiga inom talteori och är nära relaterade till Riemanns zetafunktion och andra speciella funktioner.
Identiteter för harmoniska tal
Direkt av harmoniska talens definition följer differensekvationen
Summan av de n första harmoniska talen ges av
Harmoniska talen är relaterade till Stirlingtalen av andra ordningen enligt formeln
Beräkning
En integralrepresentation av Euler är
Representationen ovan kan bevisas genom att använda identiteten
och integrera termvis.
Genom variabelbytet x = 1−u kan man få ett elegant kombinatoriskt uttryck för Hn :
Samma representation kan fås genom attanvända den tredje av Retkes identiteter genom att låta och använda :
Grafen visar sambandet mellan harmoniska talen och naturliga logaritmen.
Det nte harmoniska talet växer ungefär lika snabbt som naturliga logaritmen ur n. Orsanken till detta är att
vars värde är ln(n).
Värdena av följden Hn - ln(n) minskar monotont mot gränsvärdet
där γ ≈ 0.5772156649 är Eulers konstant. Asymptotiska expansionen då n → ∞ är
där är Bernoullitalen.
Harmoniska tal som en oändlig serie
Det n-te harmoniska talet kan skrivas som en oändlig serie på följande vis:
Förekomst
Harmoniska talen förekommer ofta inom talteori och teorin av speciella funktioner såsom i följande formel för digammafunktionen:
Denna relation används ofta som definitionen av harmoniska tal för icke-heltal used n. Harmoniska talen används också ofta till att definiera Eulers konstant γ genom gränsvärdet ovan även om
konvergerar snabbare.
2002 bevisade Jeffrey Lagarias att Riemannhypotesen är ekvivalent med att
gäller för varje heltal n ≥ 1 med strikt olikhet om n > 1, där σ(n) är sigmafunktionen.
Egenvärdena av det icke-lokala problemet
ges av där
Genererande funktioner
Harmoniska talens genererande funktion är
En exponentiell genererande funktion ges av
där Ein(z) är exponentiella integralen. Notera att
där Γ(0, z) är ofullständiga gammafunktionen.
Generaliseringar
Hyperharmoniska tal
J. H. Conway och R. K. Guy har presenterat följande generalisering av harmoniska talen: låt
Då är det nte hyperhermoniska talet av ordning r (r>0)