| Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
Hurwitzs zetafunktion är en speciell funktion som generaliserar Riemanns zetafunktion. Den är uppkallad efter Adolf Hurwitz. Då Re(s) > 1 och Re(q) > 0 är dess definition
![{\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd67cb7509c1aed5d8fef299470f451b850e6e2)
Serierepresentation
En serierepresentation för q > −1 och alla komplexa s ≠ 1 av Helmut Hasse år 1930:
![{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9727370bc3e405ebb5cdaae0e0e6e931ed22d81f)
Taylorserie
Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion är
![{\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d559324f32e880cc7aa93392e11153febc1dc8)
Laurentserie
Laurentserien för
är:
![{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\gamma _{n}(q)}{n!}}(s-1)^{n}\qquad \qquad 0<q\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dddb9155971cf601aa50e7cc29fbce609ca7073)
där
är Stieltjeskonstanterna:
![{\displaystyle \gamma _{n}(q):=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log ^{n}(k+q)}{k+q}}-{\frac {\log ^{n+1}(N+q)}{n+1}}\right)\qquad \quad n=0,1,2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a3bffaf623802e9f955edc7a012a2723a672d7)
Fourierserie
![{\displaystyle \zeta (s,a)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\left(\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi ak)}{k^{1-s}}}+\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi ak)}{k^{1-s}}}\right)\qquad \qquad \mathrm {Re} (s)<1{\text{ och }}0<a\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066df4fd70e0218ad2e07962f9f345cf2fdc5d43)
Integralrepresentationer
Då
och
kan Hurwitzs zetafunktion skrivas som
![{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce7ec48a91c6868db265941051c27d97db2ce9c)
En annan integral är
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5ef655bc8d4dd103cf713f2d11e3992bb5dac4)
som gäller för
.
Hurwitzs formel är teoremet
![{\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a1e030d79f6183aff28e9ba3ca37f7542d9c26)
där
![{\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8c9faccae795617cf2a8a5cc9205ce4f7740f1)
är en representation som gäller för
and s > 1. Här är
polylogaritmen.
Funktionalekvation
För alla
och
gäller
![{\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75ab58bac451bc8aa0e87fea24834c49d709335)
Speciella värden
![{\displaystyle \zeta (s,-1)=\zeta (s)+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7fe27726451a6ddf26dbadafa00a2f9e5cfa35)
![{\displaystyle \zeta (s,2)=\zeta (s)-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f1d0639a37ebf52ed144e9b2b073ad174cd9214)
![{\displaystyle \zeta (s,0)=\zeta (s,1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c43bffefcc00dc161e911bcda20e8ac53de87e9)
![{\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}n^{s}\cdot \mathrm {Li} _{s}\left(e^{\frac {2\pi \mathrm {i} k}{n}}\right)e^{-{\frac {2\pi \mathrm {i} km}{n}}}\qquad \qquad m,n\in \mathbb {N} ^{+}{\text{ och }}m\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7417d5c47b29d65ecb549d8d9c15ede2bd59d094)
![{\displaystyle \zeta (0,a)={\frac {1}{2}}-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5bc40aec769b13672e366440853ff738cd13022)
![{\displaystyle \zeta (2,{\tfrac {1}{4}})=\pi ^{2}+8G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0454546396c50d1660d89195a22f923b78d56471)
![{\displaystyle \zeta (2,{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {x}{\pi }})+\zeta (2,{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {x}{\pi }})={\frac {\pi ^{2}}{\cos ^{2}x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c22d75606b938dc29708511d0b8734a2f7e89c1)
G är Catalans konstant.
Relation till andra funktioner
Bernoullipolynomen
Hurwitz zeta-funktion är relaterad till Bernoullipolynomen enligt
![{\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaca0cc1003948ccba90544f63185b400b0668df)
Jacobis thetafunktion
Om
är Jacobis thetafunktion är
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,\mathrm {i} t)-1\right]t^{s/2}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]\qquad \qquad \mathrm {Re} (s)>0{\text{ och }}z\in \mathbb {C} \,\setminus \,\mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf98a5653158eb489ff7b02d7ee1d95499b9ea7)
Specialfall och generaliseringar
Hurwitzs zeta-funktion vid icke-negativa heltal m är relaterad till polygammafunktionen:
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b09ce4bfd4cc809a32a3bb1a9184144acb14baa)
För negativa heltal −n kan Hurwitzs zetafunktion uttryckas med hjälp av Bernoullipolynomen:
![{\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12749d171b21358c68cee64747fd511d12463f90)
Barnes zetafunktion är en generalisering av Hurwitzs zetafunktion.
En annan generalisering är Lerchs transcendent:
![{\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c9cbd553de34d677b0a0e3c4ba1b859e83591c)
![{\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84991fb8594ae1d4da79715503c1e43516532bdb)
Andra generaliseringar är generaliserade hypergeometriska funktionen
där ![{\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ och }}a\notin \mathbb {N} {\text{ och }}s\in \mathbb {N} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1c74e89776fa5a5532628332bbedba81e58483)
samt Meijers G-funktion
![{\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0160a699573e194ad44e08160f0c1ae27d7c274)
Referenser
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hurwitz zeta function, 11 oktober 2013.
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Hurwitzsche Zeta-Funktion, 15 november 2013.