Kramers–Kronig-relationerna

Kramers–Kronig-relationerna är två matematiska relationer som måste gälla mellan real- och imaginärdelen av Fouriertransformen av en linjär responsfunktion χ ( t ) {\displaystyle \chi (t)} som uppfyller kausalitetskravet χ ( t ) = 0 {\displaystyle \chi (t)=0} för t < 0 {\displaystyle t<0} .

Kausalitet innebär att responsfunktionen χ ( t ) {\displaystyle \chi (t)} måste uppfylla kravet χ ( t ) = 0 {\displaystyle \chi (t)=0} för t < 0 {\displaystyle t<0} . Detta får följder även för den Fouriertransformerade responsfunktionen χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} . Relationen mellan dem ges av

χ ( t ) = ∫ − ∞ ∞ d ω 2 π e − i ω t χ ( ω ) . {\displaystyle \chi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}e^{-i\omega t}\chi (\omega ).}

Om t < 0 {\displaystyle t<0} kan integralen utvärderas genom en konturintegral som utsträcker sig i den övre halvan av det komplexa talplanet. Eftersom χ ( t ) = 0 {\displaystyle \chi (t)=0} för t < 0 {\displaystyle t<0} , måste χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} sakna poler i den övre halvan av det komplexa talplanet.

Kausalitetskrav

χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} är analytisk för Im  ω > 0 {\displaystyle {\text{Im }}\omega >0}

Detta kausalitetskrav medför att χ ′ ( ω ) {\displaystyle \chi '(\omega )} och χ ″ ( ω ) {\displaystyle \chi ''(\omega )} inte är helt oberoende av varandra. Istället är de direkt relaterade till varandra genom de så kallade Kramers–Kronig-relationerna:

Kramers–Kronig-relationerna

Re  χ ( ω ) = P ∫ − ∞ + ∞ d ω ′ π Im  ( χ ( ω ′ ) ) ω ′ − ω {\displaystyle {\text{Re }}\chi (\omega )={\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {d\omega '}{\pi }}{\frac {{\text{Im }}(\chi (\omega '))}{\omega '-\omega }}}
Im  χ ( ω ) = − P ∫ − ∞ + ∞ d ω ′ π Re  ( χ ( ω ′ ) ) ω ′ − ω {\displaystyle {\text{Im }}\chi (\omega )=-{\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {d\omega '}{\pi }}{\frac {{\text{Re }}(\chi (\omega '))}{\omega '-\omega }}}

där P {\displaystyle {\mathcal {P}}} betecknar principalvärdet av integralen.