Kvotregeln är inom matematisk analys, metoden att finna derivatan till en kvot av två differtierbara funktioner.[1][2][3]
Låt
![{\displaystyle f(x)={\cfrac {g(x)}{h(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323bb96eed1389b2101aa4e0367363224ff51f08)
där
![{\displaystyle g(x),\ h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfbe7b3721a27fdec68b041ce5c4197be888c35b)
är differentierbara funktioner och
![{\displaystyle h(x)\neq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6742ec3f4a6123b2708751f2adb96680bce4137f)
Enligt kvotregeln är derivatan av
![{\displaystyle f'(x)={\cfrac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce07f3d9b599fdb6354e9cf28d761d2faeda44ac)
Exempel
Kvotregeln kan användas till att finna derivatan av
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {d}{dx}}\tan x&={\cfrac {d}{dx}}{\cfrac {\sin x}{\cos x}}\\&={\cfrac {\left({\cfrac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\cfrac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\&={\cfrac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\cfrac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6dbce12cc4452276617c31e020e2375419fd23d)
Bevis
Låt
![{\displaystyle f(x)={\cfrac {g(x)}{h(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323bb96eed1389b2101aa4e0367363224ff51f08)
Tillämpa definitionerna av derivator och egenskaperna hos gränsvärden:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{k\to 0}{\cfrac {f(x+k)-f(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\cfrac {{\cfrac {g(x+k)}{h(x+k)}}-{\cfrac {g(x)}{h(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\cfrac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k\cdot h(x)h(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\cfrac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\cfrac {1}{h(x)h(x+k)}}\\&=\left(\lim _{k\to 0}{\cfrac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x)+g(x)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}}\right)\cdot {\cfrac {1}{h(x)^{2}}}\\&=\left(\lim _{k\to 0}{\cfrac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\cfrac {g(x)h(x+k)-g(x)h(x)}{k}}\right)\cdot {\cfrac {1}{h(x)^{2}}}\\&=\left(h(x)\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}}-g(x)\lim _{k\to 0}{\cfrac {h(x+k)-h(x)}{k}}\right)\cdot {\cfrac {1}{h(x)^{2}}}\\&={\cfrac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/422c48fe9ede11632ffcc9ac33609fc8b22329cf)
Se även
- Produktregeln
- Partialintegration
Referenser
Noter
- ^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5. https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1
- ^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4
- ^ Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2