En Lambertserie, uppkallat Johann Heinrich Lambert, är en serie av formen
![{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec95dac4dafd34889caa744c27c7e74e2de9d4e)
Den kan skrivas som serien
![{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bc4d620ad97bd3583b76855fdc807ba7af5f7d)
där koefficienterna är Dirichletfaltningen av an med konstanta funktionen 1(n) = 1:
![{\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aaa18fabb991c27201f1013cbac9f6feecc244f)
Exempel
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73e4955e63c3002eed9bb2208c4c5e802858e97)
och mer allmänt
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42336854489e4baf6a85b5d8af685197b5aadbc9)
där
är ett godtyckligt komplext tal och
![{\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361e883589c05bc72b4c6f7464529c9cbe689163)
är sigmafunktionen.
Andra Lambertserier som innehåller aritmetiska funktioner är:
Möbiusfunktionen
:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/580ca3d53a4d615f99abf85699cad31e7de7041a)
Eulers fi-funktion
:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e232584e94a0f6cf77920a3edbe136c37f0486f)
Liouvilles lambda-funktion
:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38580eec7172cd2e85782fa166a1040eca64effd)
Genom att sätta
får man en annan form av serien:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22fb36ed46182812b5094d959857c277cd4b70a)
där
![{\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d352f8f3c21f07271abaeaa19302fff55bc1c6d8)
Källor
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Lambert series, 16 november 2013.