Matrisfunktion

Inom matematiken är en matrisfunktion en funktion som avbildar en matris på en matris.

En del funktioner på skalärer är lätta att överföra till kvadratiska matriser., till exempel polynomfunktioner. Med matrismultiplikation definierar man

${\displaystyle A^{0}=I\,}$

${\displaystyle A^{n}=\prod _{k=1}^{n}A}$

för att på så sätt kunna hantera polynom av matriser. Men de flesta funktioner är inte lika enkla att överföra till matriser.

Det finns flera aspekter när man betraktar överföringen av en funktion från skalärer till matriser.

En funktions Maclaurinserie:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}x^{k}}$

kan även användas på matriser.

För en diagonalmatris ${\displaystyle D}$ kan man genom Maclaurinserien få att:

${\displaystyle f(D)={\begin{pmatrix}f(d_{1})&0&\cdots &0\\0&f(d_{2})&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &f(d_{n})\end{pmatrix}}}$

Om en matris ${\displaystyle A}$ är diagonaliserbar, dvs det finns en matris ${\displaystyle T}$ sådan att ${\displaystyle A=TDT^{-1}}$, brukar man använda faktumet att:

${\displaystyle A^{2}=(TDT^{-1})^{2}=TDT^{-1}TDT^{-1}=TD^{2}T^{-1}\Rightarrow A^{n}=TD^{n}T^{-1}}$

Maclaurinserien ger då att:

${\displaystyle f(A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}A^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}(TDT^{-1})^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}TD^{k}T^{-1}=T(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}D^{k})T^{-1}=Tf(D)T^{-1}}$

Alla kvadratiska matriser kan skrivas på Jordans normalform, dvs ${\displaystyle A=TJT^{-1}}$ där ${\displaystyle J}$ är en blockdiagonal matris. På samma sätt som för diagonala matriser får man att:

${\displaystyle f(A)=Tf(J)T^{-1}}$

För att definiera matrisen för ${\displaystyle J}$ kan man använda faktumet att ${\displaystyle J=D+N}$ för en diagonalmatris ${\displaystyle D}$ och en nilpotent matris ${\displaystyle N}$, detta kan göras exempelvis i fallet matrisexponential.

Man kan också betrakta funktioner av Jordanblock, som är de block som matrisen ${\displaystyle J}$ har i sin diagonal. Ett Jordanblock ${\displaystyle J_{p}}$ har formen:

${\displaystyle J_{p}={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\0&0&\lambda &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda \end{pmatrix}}}$

Dvs, en matris med ett tal ${\displaystyle \lambda }$ i huvuddiagonalen, med en diagonal av ettor ovanför huvuddiagonalen. Funktionen av ett Jordanblock blir då:

${\displaystyle f(J_{p})=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}J_{p}^{k}={\begin{pmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&{\frac {f''(\lambda )}{2!}}&\cdots &{\frac {f^{n}(\lambda )}{n!}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&\cdots &{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}\end{pmatrix}}}$

• Funktion
• Matrisexponential
• Matrislogaritm

v • r Linjär algebra Grundläggande begrepp Skalär · Vektor · Noll · Ortogonalitet · Ekvationssystem · Rum · Linjärkombination · Inre produkt · Oberoende · Bas · Radrum · Kolonnrum · Nollrum · Gram-Schimdt · Egenvärde · Hölje · Linjäritet Vektoralgebra Kryssprodukt · Trippelprodukt Matriser Elementär · Block · Enhet · Determinant · Norm · Rang · Transformation · Rotation · Invers · Cramers regel · Trappstegsform · Spår · Transponat · Gausselimination · Symmetri · Addition Multilinjär algebra Geometrisk algebra · Yttre algebra · Bivektor · Multivektor · Tensor Konstruktioner Delrum · Dualrum · Funktionsrum · Kvotrum · Tensorprodukt Numerik Flyttal · Gles matris Kategori