Menelaos sats

Figur 1. Den rosa linjen skär triangeln ABC.
Figur 2. Den rosa linjen passerar helt utanför triangeln ABC.

Menelaos sats är en sats inom Euklidisk plangeometri som säger att (beteckningar enligt figurerna 1 och 2[1]) punkterna D, E och F belägna en på vardera av triangeln ABC's sidor (eller förlängningen av dessa) är kolinjära om och endast om:

A F → F B → ⋅ B D → D C → ⋅ C E → E A → = − 1 , {\displaystyle {\frac {\vec {AF}}{\vec {FB}}}\cdot {\frac {\vec {BD}}{\vec {DC}}}\cdot {\frac {\vec {CE}}{\vec {EA}}}=-1,} .

Satsen är uppkallad efter den grekiske matematikern Menelaos från Alexandria, men var känd före honom[2]. Den är, tekniskt sett, en dual till Cevas sats. I del tre av Menelaos verk Sphaericorum visade han att satsen även gäller för en storcirkel som skär en sfärisk triangels sidor.[3][2]

Bevis

Betrakta figur 1. Den prickade linjen BG är parallell med FE. Vi ser att:

A F → F B → = A E → E G → {\displaystyle {\frac {\vec {AF}}{\vec {FB}}}={\frac {\vec {AE}}{\vec {EG}}}} [4] och B D → D C → = G E → E C → {\displaystyle {\frac {\vec {BD}}{\vec {DC}}}={\frac {\vec {GE}}{\vec {EC}}}} [5].

Vilket leder till att: A F → F B → ⋅ B D → D C → ⋅ C E → E A → = A E → E G → ⋅ G E → E C → ⋅ C E → E A → = A E → E A → ⋅ G E → E G → ⋅ C E → E C → = − 1 ⋅ − 1 ⋅ − 1 = − 1 {\displaystyle {\frac {\vec {AF}}{\vec {FB}}}\cdot {\frac {\vec {BD}}{\vec {DC}}}\cdot {\frac {\vec {CE}}{\vec {EA}}}={\frac {\vec {AE}}{\vec {EG}}}\cdot {\frac {\vec {GE}}{\vec {EC}}}\cdot {\frac {\vec {CE}}{\vec {EA}}}={\frac {\vec {AE}}{\vec {EA}}}\cdot {\frac {\vec {GE}}{\vec {EG}}}\cdot {\frac {\vec {CE}}{\vec {EC}}}=-1\cdot -1\cdot -1=-1}

I fall att linjen genom D, E och F ej skär triangeln, som i figur 2, konstrueras den med DE parallella linjen BG där G är en punkt på triangelsidan AC, varefter förfarandet är likartat.

Referenser och noter

  • Menelaus and Ceva theorems från Florida Atlantic University.
  1. ^ Notera att, exempelvis, A B → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {AB}}} är en riktad sträcka och således att A B → = − B A → {\displaystyle \scriptstyle {{\vec {AB}}=-{\vec {BA}}}}
  2. ^ [a b] J J O'Connor & E F Robertson, Menelaus of Alexandria på MacTutor, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews.
  3. ^ Menelaus of Alexandria i Encyclopaedia Britannica online.
  4. ^ Trianglarna AFE och ABG är likformiga.
  5. ^ Trianglarna GBC och EDC är likformiga.

Externa länkar

  • Charles E. Baker, 2014, The Theorems of Ceva and Menelaus på Ohio State University, Departement of Mathemathics.
  • Paul Yiu, 1998, Euclidean Geometry, Department of Mathematics, Florida Atlantic University, kapitel 7 och 8 (p.p.), sid. 87 (91/174) - 107.