Minkowskis olikhet (efter Hermann Minkowski) är inom funktionalanalys en olikhet som säger att Lp-rummen är normerade rum, mer specifikt säger olikheten att om f och g är element i ett Lp-rum, med
så är[1]
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d3de762058656808721fc899c4b223914c6c3f)
med likhet om och endast om f och g är positiva multiplar av varandra, dvs
för något
.
Utskrivet innebär detta alltså:
![{\displaystyle \left(\int |f+g|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1b1c4f99a1e35fc7fd07bd87ba9c2367129b3a)
Olikheten gäller även för serier:
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a5b5165851e5567457995651dadc822b79752a)
Referenser
- ^ Burkill, J.C. (1951). The Lebesgue integral. Cambridge University Press. sid. 66