Produktregeln används inom matematisk analys för att finna derivatan av produkten av två eller flera funktioner. För två funktioner kan regeln formuleras som[1]
![{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4b41ecb86cf1e96e26cfa38f29f719763bcb67)
eller med Leibniz notation
![{\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db63558cf8802a81efc5f6b5d20dcdb598dd7063)
Med differentialnotation, kan detta skrivas som
![{\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81d11eec7525267469725b9073dcdd3ea4abe6c)
Med Leibniz notation, är derivatian av tre funktioner
![{\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531a4f1d56f1f220a49a5f2785c028e6779c160c)
vilket kan generaliseras till k funktioner
:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae383fab42114b6984b826a64e24a9c5b69caab)
Exempel
Tillämpa produktregeln för att derivera
![{\displaystyle x^{2}\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6dd4b8c175ffdfb4bef90e8a70f8a4cb56af0cb)
Med
![{\displaystyle f(x)=x^{2}\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfc781da8e2a2c20b9c8dff0a8b2a9244693928)
![{\displaystyle g(x)=\sin(x)\quad \Rightarrow \quad g'(x)=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d98a0de30c069c77c1bf2f8771c782c095428c)
ger produktregeln för två funktioner
![{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bde390cf551146d7da8e7600da9f21b4d0bd8d7)
Bevis
Antag h(x) = f(x)g(x) och att f och g båda är differentierbara i x. Vi vill visa att h är differentierbar i x och att dess derivata ges av
![{\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c560b3b1feb475841e60bd39f9c02cb71b5d6b1)
För att åstadkomma detta, adderas
![{\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e480d0d45bf03d623f0691c3298c9e8d60b05a)
(vilket är noll och således inte ändrar värde) till täljaren för att möjliggöra dess faktorisering och sedan tillämpas egenskaper hos gränsvärden.
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \underbrace {\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)} _{\text{* Se anmärkning nedan}}+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47a47af962a4caa819c251cf6a5ecbe9e463cec)
* Det faktum att
![{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b8a53490f131b734263e4dd5c193a4eb9775c6)
kan härledas från satsen att differentierbara funktioner är kontinuerliga.
Se även
- Kvotregeln
- Partialintegration
Referenser
Noter
- ^ Weisstein, Eric W. "Product Rule" From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ProductRule.html