Reell analytisk Eisensteinserie

Inom matematiken är den enklaste reella analytiska Eisensteinserien en speciell funktion i två variabler. Den används inom representationsteorin för SL(2,R) och analytisk talteori. Den är nära relaterad till Epsteins zetafunktion.

Det finns många generaliseringar associerade till mer komplicerade grupper.

Definition

Eisensteinserien E(z, s) för z = x + iy i övre planhalvan definieras som

E ( z , s ) = 1 2 ∑ ( m , n ) = 1 y s | m z + n | 2 s {\displaystyle E(z,s)={1 \over 2}\sum _{(m,n)=1}{y^{s} \over |mz+n|^{2s}}}

för Re(s) > 1, och med analytisk fortsättning för andra komplexa tal s. Summan är över alla par av relativt prima heltal.

Egenskaper

Som en funktion av z

Betraktad som en funktion av z, är E(z,s) en reell analytisk egenfunktion av Laplaceoperatorn över H' med egenvärdet s(s-1). I andra ord satisfierar den den elliptiska partiella differentialekvationen

y 2 ( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) E ( z , s ) = s ( s − 1 ) E ( z , s ) , {\displaystyle y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)E(z,s)=s(s-1)E(z,s),}    där z = x + y i . {\displaystyle z=x+yi.}

Funktionen E(z, s) är invariant under påverkan av SL(2,Z) över z i övre planhalvan av Möbiustransformationer. Tillsammans med den tidigare egenskapen betyder detta att Eisensteinserien är en Maassform, en reell-analytisk analogi av klassiska elliptiska modulära funktioner.

Som en funktion av s

Eisensteinserien konvergerar för Re(s)>1, men kan analytisk fortsättning till en meromorfisk funktion av s i hela komplexa planet med en unik pol med residy π vid s = 1 (för alla z i H). Konstanta termen vid polen s = 1 beskrivs av Kroneckers gränsvärdesformel.

Den modifierade funktionen

E ∗ ( z , s ) = π − s Γ ( s ) ζ ( 2 s ) E ( z , s )   {\displaystyle E^{*}(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)E(z,s)\ }

satisfierar funktionalekvationen

E ∗ ( z , s ) = E ∗ ( z , 1 − s )   {\displaystyle E^{*}(z,s)=E^{*}(z,1-s)\ }

analog till funktionalekvationen av Riemanns zetafunktion ζ(s).

Skalärprodukten av två olika Eisensteinserier E(z, s) och E(z, t) ges av Maass-Selberg-relation.

Fourierexpansion

Egenskaperna ovan av reella analytiska Eisensteinserien, det vill säga funktionalekvationen för E(z,s) och E*(z,s) genom att använda Laplacianen över H, är konsekvenser av det att E(z,s) har en Fourierexpansion: E ( z , s ) = y s + ζ ^ ( 2 s − 1 ) ζ ( 2 s ) y 1 − s + 4 ζ ^ ( 2 s ) ∑ m = 1 ∞ m s − 1 / 2 σ 1 − 2 s ( m ) y K s − 1 / 2 ( 2 π m y ) cos ⁡ ( 2 π m x )   {\displaystyle E(z,s)=y^{s}+{\frac {{\hat {\zeta }}(2s-1)}{\zeta (2s)}}y^{1-s}+{\frac {4}{{\hat {\zeta }}(2s)}}\sum _{m=1}^{\infty }m^{s-1/2}\sigma _{1-2s}(m){\sqrt {y}}K_{s-1/2}(2\pi my)\cos(2\pi mx)\ }

där

ζ ^ ( s ) = π − 1 / 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s )   {\displaystyle {\hat {\zeta }}(s)=\pi ^{-1/2}\Gamma {\biggl (}{\frac {s}{2}}{\biggr )}\zeta (s)\ }
σ s ( m ) = ∑ d | m d s   , {\displaystyle \sigma _{s}(m)=\sum _{d|m}d^{s}\ ,}

och den modifierade Besselfunktionen

K s ( z ) = 1 2 ∫ 0 ∞ exp ⁡ ( − z 2 ( u + 1 u ) ) ⋅ u s − 1 d u ∼ π 2 z e − z   .                   ( z → ∞ ) {\displaystyle {\begin{aligned}K_{s}(z)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp {\biggl (}-{\frac {z}{2}}(u+{\frac {1}{u}}){\biggr )}\cdot u^{s-1}du\\&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\ .\ \ \ \ \ \ \ \ \ (z\rightarrow \infty )\end{aligned}}}

Epsteins zetafunktion

Epsteins zetafunktion ζQ(s) (Epstein 1903) för en positiv definit heltalskvadratisk form Q(m, n) = cm2 + bmn +an2 definieras som

ζ Q ( s ) = ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) 1 Q ( m , n ) s .   {\displaystyle \zeta _{Q}(s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{1 \over Q(m,n)^{s}}.\ }

Den är essentiellt ett specialfall av reella analytiska Eisensteinserien för ett speciellt värde av z, eftersom

Q ( m , n ) = a | m z + n | 2   {\displaystyle Q(m,n)=a|mz+n|^{2}\ }

för

z = − b 2 a + i − b 2 + 4 a c 2 a . {\displaystyle z={\frac {-b}{2a}}+{\frac {i{\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}.}

Denna zetafunktion är uppkallad efter Paul Epstein.

Generaliseringar

Reella analytiska Eisensteinserien E(z, s) är Eisensteinserien associerad till den diskreta delgruppen SL(2,Z) av SL(2,R). Selberg har beskrivit generaliseringar till andra diskreta delgrupper Γ av SL(2,R) och använt dem till att undersöka representationer av SL(2,R) över L2(SL(2,R)/Γ). Langlands utvidgade Selbergs arbete till grupper med högre dimension; hans komplicerade bevis förenklades senare av Joseph Bernstein.

Se även

  • Eisensteinserie
  • Kroneckers gränsvärdesformel
  • Maassform

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Real analytic Eisenstein series, 15 maj 2014.
  • J. Bernstein, Meromorphic continuation of Eisenstein series
  • Epstein, P. (1903), ”Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen I”, Math. Ann. 56 (4): 614–644, doi:10.1007/BF01444309 .
  • A. Krieg (2001), ”Epstein zeta-function”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
  • Kubota, T. (1973), Elementary theory of Eisenstein series, Tokyo: Kodansha, ISBN 0-470-50920-1 .
  • Langlands, Robert P. (1976), On the functional equations satisfied by Eisenstein series, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07872-X, http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/automorphic.html .
  • A. Selberg, Discontinuous groups and harmonic analysis, Proc. Int. Congr. Math., 1962.
  • D. Zagier, Eisenstein series and the Riemann zeta-function.