Serres modularitetsförmodan

Inom matematiken är Serres modularitetsförmodan, introducerad av Serre (1975, 1987), baserad på korrespondens under åren 1973–1974 med John Tate, en förmodan som säger att från en udda irreducibel tvådimensionell Galoisrepresentation över en ändlig kropp uppstår från en modulär form. En starkare version av förmodan specificerar vikten och nivån av modulära formen. Förmodan bevisades av Chandrashekhar Khare i fallet med nivå 1^[1] 2005 och 2008 lyckades Khare och Jean-Pierre Wintenberger bevisa hela förmodan.^[2]

Förmodan handlar om absoluta Galoisgruppen ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ av den rationella talkroppen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Låt ${\displaystyle \rho }$ vara en absolut irreducibel, kontinuerlig tvådimensionell representation av ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ över en ändlig kropp som är udda (vilket betyder att komplex konjugering har determinant -1)

${\displaystyle F=\mathbb {F} _{\ell ^{r}}}$

av karakteristik ${\displaystyle \ell }$,

${\displaystyle \rho :G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}(F).\ }$

Till en godtycklig normaliserad modulär egenform

${\displaystyle f=q+a_{2}q^{2}+a_{3}q^{3}+\cdots \ }$

av nivå ${\displaystyle N=N(\rho )}$, vikt ${\displaystyle k=k(\rho )}$ och någon Nebentypkaraktär

${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \rightarrow F^{*}\ }$,

relaterar en sats av Shimura, Deligne och Serre-Deligne en representation

${\displaystyle \rho _{f}:G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}({\mathcal {O}}),\ }$

där ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ är ringen av heltal i en ändlig utvidgning av ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$. Denna representation karakterisers av kravet att för alla primtal ${\displaystyle p}$, relativt prima till ${\displaystyle N\ell }$ har vi

${\displaystyle \operatorname {Trace} (\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=a_{p}\ }$

och

${\displaystyle \det(\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=p^{k-1}\chi (p).\ }$

Genom att reducera denna representation modulo maximala idealen av ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ger en mod ${\displaystyle \ell }$ representation ${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}}$ av ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$.

Serres förmodan säger att för alla ${\displaystyle \rho }$ såsom ovan finns det en modulär egenform ${\displaystyle f}$ så att

${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}\cong \rho }$.

Nivån och vikten av den förmodade formen ${\displaystyle f}$ beräknas explicit i Serres artikel. Dessutom härleder han flera resultat från denna förmodan, bland annat Fermats stora sats och Taniyama-Shimuras sats.

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Serre's modularity conjecture, 22 juni 2014.

• Serre, Jean-Pierre (1975), Valeurs propres des opérateurs de Hecke modulo l, ”Journées Arithmétiques de Bordeaux (Conf., Univ. Bordeaux, 1974)”, Astérisque (Paris: Société Mathématique de France) 24–25: 109–117, MR 0382173, ISSN 0303-1179 
• Serre, Jean-Pierre (1987), ”Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q/Q)”, Duke Mathematical Journal 54 (1): 179–230, doi:10.1215/S0012-7094-87-05413-5, MR 885783, ISSN 0012-7094, http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-87-05413-5 
• Stein, William A.; Ribet, Kenneth A. (2001), ”Lectures on Serre's conjectures”, i Conrad, Brian; Rubin, Karl, Arithmetic algebraic geometry (Park City, UT, 1999), IAS/Park City Math. Ser., "9", Providence, R.I.: American Mathematical Society, s. 143–232, MR 1860042, ISBN 978-0-8218-2173-2 

• Serre's Modularity Conjecture 50 minute lecture by Ken Ribet given on October 25, 2007 ( slides PDF, other version of slides PDF)