Kutup (karmaşık analiz)

Karmaşık analizde kutup ya da doğru bir söylemle bir meromorf fonksiyonun kutbu, 1/zⁿ 'nin z = 0 noktasındaki tekilliği gibi davranan matematiksel bir tekilliktir. Bu özellikle şu anlama gelir: Bir f(z) fonksiyonun z = a noktasındaki kutbu, z noktası a noktasına yaklaştıkça f(z)'yi sonsuza düzgün bir şekilde yaklaştıran noktadır.

Tanım

U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir altkümesi olsun. a noktası U 'nun bir öğesi olsun ve f : U - {a} → C tanım bölgesinde holomorf bir fonksiyon olsun. U - {a} 'daki her z noktası için

f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}

ifadesinin sağlandığı g : U → C fonksiyonu ve negatif olmayan bir n tam sayısı varsa, o zaman a 'ya f 'nin bir kutup noktası adı verilir. Yukarıdaki şartı sağlayan en küçük n sayısına ise kutbun mertebesi denilir. Mertebesi 1 olan bir kutba basit kutup denirken, mertebesi 0 olan bir kutba ise kaldırılabilir tekillik adı verilir.

Yukarıdaki çeşitli denk tariflerden ise şunlar çıkartılabilir:

Eğer n, a noktasındaki kutbun mertebesiyse, o zaman muhakkak yukarıdaki ifadede yer alan g fonksiyonu için g(a) ≠ 0 'dır. Böylece, a noktasının etrafındaki açık bir komşulukta holomorf olan ve a 'da n inci mertebeden sıfır olan bir h fonksiyonu için

f(z)={\frac {1}{h(z)}}

diyebiliriz. Yani, matematik kesinlik bir kenera bırakılıp tarif edilecek olursa, kutuplar holomorf fonksiyonların sıfırlarının terslerinde (kesir olarak) olur.

Ayrıca, g 'nin holomorf olması yoluyla, f de

f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}

şeklinde ifade edilebilir. Bu sonlu ana kısmı olan bir Laurent serisidir. U üzerindeki ∑_{k ≥ 0}a_k (z - a)^k holomorf fonksiyonuna f 'nin düzenli kısmı denir. Böylece, a noktasının f 'nin n mertebeli bir kutup noktası olması ancak ve ancak f 'nin a noktası etrafındaki Laurent serisi açılımındaki derecesi -n 'den küçük olan terimler yoksa ve -n dereceli terim sıfırdan farklıysa mümkündür.

Notlar

Eğer f 'nin birinci türevinin a noktasında basit bir kutbu varsa, o zaman a 'ya f 'nin dallanma noktası adı verilir. (Tersi durum doğru olmak zorunda değildir).

Kutup veya dallanma noktası olmayan kaldırılamaz bir tekilliğe esaslı tekillik adı verilir.

Bazı izole edilmiş noktalar dışında holomorf olan ve tekillikleri sadece kutuplar olan karmaşık bir fonksiyona meromorf fonksiyon adı verilir.