N-кістяк

Граф гіперкуба є 1-кістяком тесеракту.

N-кістяк у математиці, зокрема в алгебраїчній топології, є топологічним простором X, який представлений у вигляді симпліційного комплексу (відповідно CW-комплексу), який належить до підпростору Xn, що є об'єднанням симплексів X (відповідно клітин X) розмірів m ≤ n. Іншими словами, враховуючи індуктивне визначення комплексу, n-кістяк отримується, зупинкою на n-му кроці.

Ці підпростори збільшуються зі значенням n. 0-кістяк являє собою дискретний простір, а також 1-кістяк топологічного графа. Скелети простору використовуються в теорії обструкцій[en], для побудови спектральних послідовностей[en] за допомогою фільтрації, і взагалі для створення індуктивних аргументів. Вони особливо важливі, коли X має нескінченну розмірність в тому сенсі, Xn не стає постійним, коли n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .

В геометрії

В геометрії, a k-кістяк n-багатогранника P (функціонально представлені у вигляді skelk(P)) складаються з усіх i-політопів, які мають розмірність не більше k.[1]

Наприклад:

skel0(куб) = 8 вершин: skel1(куб) = 8 вершин, 12 ребер: skel2(куб) = 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратних граней

Для симпліційних множин

Вищезгадане визначення кістяка симпліційного комплексу — це окремий випадок поняття кістяка симпліційної множини. Коротко кажучи, спрощений набір K ∗ {\displaystyle K_{*}} може бути описаний сукупністю множин K i ,   i ⩾ 0 {\displaystyle K_{i},\ i\geqslant 0} , разом з гранями і виродження між ними задовольняють ряд рівнянь. Ідея n-кістяку s k n ( K ∗ ) {\displaystyle sk_{n}(K_{*})}  — це спочатку відкинути набори K i {\displaystyle K_{i}} із i > n {\displaystyle i>n} , а потім доповнити колекцію K i {\displaystyle K_{i}} із i ⩽ n {\displaystyle i\leqslant n} до «найменшої можливої» симпліційної множини, так що отримана симпліційна множина не містить ніяких вироджених симплексів степені i > n {\displaystyle i>n} .

Більш точно, обмеження функтора

i ∗ : Δ o p S e t s → Δ ⩽ n o p S e t s {\displaystyle i_{*}:\Delta ^{op}Sets\rightarrow \Delta _{\leqslant n}^{op}Sets}

має лівого спряженого, який позначається як i ∗ {\displaystyle i^{*}} .[2] (Нотації i ∗ , i ∗ {\displaystyle i^{*},i_{*}} є порівнянними з функторами зображень для пучків[en].) n-кістяк симпліційної множини K ∗ {\displaystyle K_{*}} визначається як

s k n ( K ) := i ∗ i ∗ K . {\displaystyle sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.}

Кокістяк

Крім того, i ∗ {\displaystyle i_{*}} має правий спряжений i ! {\displaystyle i^{!}} . n-кокістяк визначається як

cos ⁡ k n ( K ) := i ! i ∗ K . {\displaystyle \cos k_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.}

Наприклад, 0-skeleton K являє собою постійний симпліційну множину, визначену як K 0 {\displaystyle K_{0}} . 0-кокістяк визначається нервом[en] Чеха

⋯ → K 0 × K 0 → K 0 . {\displaystyle \dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.}

(Граничний та вироджений морфізми задаються різними проєкціями та діагональними вкладеннями, відповідно.)

Наведені вище конструкції працюють для більш загальних категорій (замість множин), за умови, що у категорії є розшарований добуток. Кокістяк необхідний для визначення поняття гіперпокриття[en] в гомотопичній алгебрі[en] і алгебраїчній геометрії.[3]

Див. також

Примітки

  1. ↑ Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 29)
  2. ↑ Goerss, P. G.; Jardine, J. F. (1999), Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics, т. 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, section IV.3.2
  3. ↑ Artin, Michael; Mazur, Barry (1969), Etale homotopy, Lecture Notes in Mathematics, No. 100, Berlin, New York: Springer-Verlag

Посилання

  • Weisstein, Eric W. Skeleton(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.